排列组合中潜在“重复和遗漏”的深度分析

排列组合是高考数学的一大考点和难点，特别是高考概率题求解的基础和前奏。同学们都多多少少有过同样的苦闷：“听老师讲的很多，自己课后做题也不少，但临场考试时结果却常常不尽人意，考分很悲惨”。

诚然，排列组合这一章节虽然浅显易懂，不需要过多过深的知识支撑，只有小学高年级的水平也能一听就懂。但试题类型却花样翻新，解题方法更是高深莫测，令人防不胜防。特别是，解题时一些看似天衣无缝、十全十美的方法，最终还是潜伏者遗漏或重复的错误，但解题者往往却是“执迷不悟”，茫然不知。

在此，本文对排列组合中常见的重复现象进行归类编号，挖掘其潜在的形式规律，并给出深度的剖析和探究，希望对同学们今后学习有所帮助。它山之石可以攻玉。

一、重复的形式与根源

1、无序与有序的混淆

在求解排列组合试题时，我们往往自觉不自觉的将生活常识和生活习惯带到数学解题中。于是受其习惯的制约和牵制，往往人为地将无序排列组合问题变为了有序问题。由此必然产生出好多看似完美无缺、无懈可击，但却深度潜在着重复现象的错误解题方法。

【原因】解题时受生活习惯的制约，无意识的加进了老师去学校支教的先后顺序，将原本无序的支教问题变为有序的支教排列组合，因此导致了潜在的重复现象发生。

【原因】解题时受无意识行为的引导，人为地加进了取鞋的先后顺序，将原本无序的取鞋不成双，变成了有序的取鞋问题，从而导致了重复现象的发生。幸好还有概率不大于1的提示，知错能改错。

【原因】解题时还是受无意识思维的制约，给题目附加了分书有顺序的已知条件，将原本无序的分书问题，变为有序的分书，因此潜在地导致了重复现象发生。

2、相同与不同的混淆

在求解排列组合考题时，我们必须首先搞清楚被选取元素的异同。但是我们往往受狭隘思维的制约，无意识地将相同元素的排列组合人为地改变成了不同元素的排列组合，于是潜移默化无知不觉地出现了浑然不知的潜在重复现象。

【原因】将无序插入相同隔板问题，错误地理解为有序插入不同隔板排列组合，于是出现了看似完美，但却浑然不知地潜伏了重复现象。

【原因】将相同的书无意识看成了不同的书分发给甲乙丙三人，因此自然而然的出现了深层潜伏的重复现象。

3、分类与分步的混乱

解排列组合题考题时，时刻离不开分步与分类，即加法与乘法的基本原理。但是分步与分类也有章法和原则可寻，不能随心所欲，必须满足分步相依和分类互斥的原则。如此才能避免分类的重复和分步的遗漏，从而避免了潜在的重复和遗漏现象。

【原因】甲站排头与乙站排尾不是互斥的分类方法，所以减去甲站排头，再减去乙站排尾的排队种数时，多减去了甲站排头且乙站排尾的排队种数，于是无可避免的出现了潜在遗漏现象

【原因】上述解题的过程分步不是相依的。第一个鸟笼飞入的不一定是一只小鸟，况且第一个鸟笼飞入全部的4只小鸟后，不会发生第二、第三个鸟笼再飞入小鸟的可能。于是过程分步的不相依，导致了潜在的遗漏现象。

二、重复的应对与策略

通过以上 “潜在重复和遗漏” 的深度归类和剖析，同学们一定对此有了全面和深入的了解，平时在解排列组合题时，要习惯性有意识的从下列两点做起：

1、理解性记忆一些经典的潜在重复遗漏型错题，特别是自己考试或作业中的错题。数学也是需要记忆精典题型的，将典型错题整理入库，平时随时进行翻阅，以便在久远的考场中一见如故，和蔼可亲。

2、解排列组合题时形成一套防止重复遗漏的口诀，并付诸于行动中。在心目中多问自己四个检验：分类互斥分步相依，有序排列无序组合，直接正面间接反面，不同元素相同数目（元素相同时只考虑数目）。