有很多圆锥曲线综合题要研究定点问题,答案里往往有这样一句话: 由椭圆的对称性知,定点必在x轴上;或者说一句,显然定点在y轴上,看得童鞋们丈二和尚摸不着头脑.一位来自广东、微信昵称为“h”的高三学生这样提问:
左老师好!请教一个定点问题!对任意实轴在x轴上的双曲线,不妨设右焦点为F,过F的直线与右支交于点A,B.问是否存在一个定离心率,使得以AB的圆恒过定点?此题如何看出定点在x轴上呢?(事实上就是左顶点) 所谓曲线过定点,首先说明曲线是变化的曲线.确定的曲线就无所谓过不过定点. 变化的曲线过顶点,指的是满足要求的任意的多个曲线的公共点.设M为AB的中点,M'是A'B'的中点,则M与M'关于x轴对称. 因为圆M的圆心和圆M'的圆心关于x轴对称,而且半径相等,所以两圆的公共点必在x轴上.所以,如果这个运动的圆过定点的话,定点只可能在x轴上.你可能要问:为什么要以AB关于x轴的对称弦A'B'为直径作圆呢?以别的什么为直径作行不行? 主要考虑因素是我们要抓住运动中的不变性——AB虽然是变化的,但是恒过F点;AB虽然都是变化的,但是它们都在双曲线上,而双曲线也是关于x轴对称的.你试试,如果你作关于x=c的对称弦,看能不能作出来?今天在网课《圆锥曲线要你命》分享的是第三章《条件翻译》的038集:与坐标轴围成的角相等:本质是斜率互为相反数.
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