射影几何入门（连载七）

imelee 2018-09-29

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第7章圆锥曲线的度量性质

107.直径与中心

按照前一章介绍后，我们自然会期望：通过平面中引进无穷远元素，来获得二阶曲线的度量性质。利用无穷远元素来引入极点和极线的理论，我们有以下定义：

无穷远点的极线称为圆锥曲线的直径，而无穷远直线的极点称为圆锥曲线的中心。

图107-1 中心O为无穷远直线的极点，

直径PP’是TT’方向无穷远点的极线,

直径TT’是PP’方向无穷远点的极线，

通过直径TT’方向无穷远点的所有弦被直径PP’平分

108. 相关的几个定理

根据极点和极线的调和性质，读者自己容易证明下列定理：

中心平分通过它的所有的弦(§39)；

每条直径穿过中心；

通过同一个无穷远点的所有弦(即一组平行弦中的每一条)被以该无穷远点为极线的直径所平分。

109.共轭直径

我们在§100中，把两条直线称为关于圆锥曲线的相互共轭的直线，如果其中任意一条线通过另一条的极点。关于圆锥曲线的共轭直线，我们有下列定理：

任意直径平分所有与其共轭的直径平行的的弦（§39）；

任一直径两个端点的切线为平行线，且平行于其共轭直径；

平行于外切平行四边形边的两个直径为共轭直径。

这些定理也是很容易完成的练习。

110.圆锥曲线的分类

圆锥曲线可以根据它们和无穷远直线的关系分类。如果圆锥曲线与无穷远直线有二交点，则它是双曲线；如果它没有一个点位于无穷远直线上，则它是椭圆；如果它与无穷远直线有一个点相合，即相切，则它是抛物线。

图110-1圆锥曲线根据它与无穷远直线的交点数分类

111.渐近线

在双曲线中，中心位于曲线的外部(§101)，参看图113-1中O点，从曲线中心向曲线所作的两条切线与曲线在两个不同的无穷远点相切，而两条切线本身在中心相交。这两条切线称曲线的渐近线。而椭圆和抛物线都没有渐近线。

112.有关的几个定理

抛物线的中心为一无穷远点，因此它的所有直径是平行的。因切线的极点就是切点。

抛物线的一系列的平行弦的中点的轨迹是直径，而它的中心线的方向对所有系列的平行弦都是相同的。

椭圆的中心在曲线之内部。

113.关于渐近线的定理

在§89中，我们已把下面这一定理作为Brianchon定理的一个推论而得到：

外切于圆锥曲线的三角形的三个顶点与对边上的切点的连线交于同一点。

当时考察切线的圆锥曲线是椭圆。现在我们来考察双曲线。双曲线是有心曲线。通过中心O的直线都称直径。双曲线与无穷远直线有两个交点，双曲线的两条渐近线就是它的两个无穷远点的切线。如果我们再作任意第三条切线，则它将与原来的两条切线（渐近线）生成两个交点，设它们分别为A和B (参看图113-1)。则中心与A,B三点形成一个外切于双曲线三角OAB。按照刚提到的定理可知：通过A平行于OB的直线、通过B平行与OA的直线、以及通过切线AB切点P的直线OP，三线交于一个共同点C。但因OACB是一平行四边形，故其对角线相互平分，由此知PA = PB。这样我们得到下面的定理：
由双曲线的两条渐近线切割任意第三条切线而成的线段AB被该切线的切点P所平分。

图113-1　 AB为过双曲线任一点P的切线，则PA = PB

114. 渐近线和共轭直径

如果在上图中，我们通过中心O作一直线OQ平行与AB，则OQ与OP一样，都是直径。因OQ与P点的切线平行，而P点是OP和曲线的交点，故OP和OQ是一对共轭直径。又因A，P，B以及AB的无穷远点是四调和点，我们得到下述有关双曲线的定理：

双曲线的共轭直径关于其渐近线调和共轭。

115.由双曲线及其渐近线切割的弦

平行于直径OQ的弦A"B"被共轭的直径OP的平分于P’点。设弦与渐近线交于点A"和B"，则点A’、P’、B’和无穷远点是四调和点，由此P’是A’B’中点。而A’A" = B’B"，我们有下列定理：
双曲线的所有弦被双曲线和它的渐近线切割出来的线段的长度相等。

116.定理的应用

.这一定理，当已知一点和双曲线的两条渐近线时，就可用来构作双曲线的现成手段。

117.由二条渐近线和一条切线形成的三角形

对于圆锥曲线的外切四边形，Brianchon定理给出了下面的推论 (§88)：

两对对顶点的连线，和两组对边切线的切点的连线，四线交于同一点。

现把这一结论用于双曲线，我们利用它已有的两条现成的切线，即以无穷远点为切点的两条渐近线切线，再设AB和CD是另外两条切线（见图117-1）。这两条切线与渐近线切线交于ABCD四点，这四点形成了双曲线的一个外切四边形。这个外切四边形的两个切点是有限平面内的非无穷点P和Q，而另外两个切点则分别是两个渐近线的无穷远切点。

我们把B和D看作该外切四边形的一对顶点，A和C为另一对顶点，则作为对顶点的连线AC、BD以及作为对边切点的连线PQ，是前面引用定理中的三条线，第四条线是连接两条渐近线的两个无穷远点的无穷远直线。这样的四条线按上述定理应交于同一点，由于无穷远直线的所有点都在无穷远处，所以这个交点也只可能是无穷远点。但这也就是说，我们证明了AC，BD，与PQ三线为平行线。

由此即可看出，三角形ABC和ADC有相等的面积，且三角形AOB和COD也是如此。因切线AB可以固定，而切线CD可以任意选择；因此我们有：

由双曲线任意一条切线和二条渐近线形成的三角形的面积为一固定常数。

图117-1 AB与CD为切线，则三角形OAB与OCD面积相等

118.用渐近线来表示一个双曲线的方程

在上图中，通过切线AB的切点P作两条直线，分别平行于两条渐近线，使它们与两条渐近线组成一个平行四边形。设该平行四边形的两组对边的长分别为x与y。

因P是AB中点，x是OA的一半，y是OB的一半，故以x，y为邻边的平行四边形的面积是三角形AOB的面积的一半，且由前一小节的讨论可知，是一常量。但因它的面积为xysinα，其中α是两个渐近线之间的固定夹角。由此推出，xy的乘积也是一常量；因x和y是P点的以渐近线为参考轴的放射坐标值，这样，我们得到下面的定理：

在以渐近线为轴的坐标系中，双曲线的方程为xy = 常数。

这一性质和解析几何中讨论的双曲线的曲线性质相一致。

119.抛物线方程

在§110中我们已经定义，抛物线是以无穷远直线为切线的圆锥曲线。现在来推导它的方程。

作曲线的任意两条切线，它们交于A，与曲线的切点分别为B和C。这两条切线与无穷远切线（§110）一起，组成了抛物线的一个外切三边形。通过B作直线平行于AC，通过C作直线平行于AB, 设两条直线交于D，则AD是一条直径。

图119-1　推导抛物线的方程

现设AD与曲线交于P, 与弦BC交于Q，则P是AQ的中点，Q是BC中点，因此，直径AD平分所有平行于BC的弦。特别，AD通过平行于BC的弦的切线的切点P。

再在Ｏ点作一切线，交AB于B'，交AC于C'。那么，这三条切线与无穷远切线一起，组成了抛物线的一个外切四边形。根据Brianchon应用于外切四边形的定理（§88），可知以下三条线：直线BC，通过B'与AC平行的直线B'D'，通过C'与AB平行的直线C'D'，共同交于一点D'。同样，根据三角形BB'D'与BAC的相似性，我们可得：对于切线B'C'的各种可能位置，都有下面的关系式：

B'D':BB' = AC : AB

但因B'D'= AC'，故又有

AC': BB' = AC : AB = 常量。

如果另有一切线交AB于B”，交AC于C”,则同样有

AC” : BB”= AC : BB= 常量。

利用上两式，根据等比公式分子分母相减仍为等比，即得

C'C”:B'B” = 常量。

由此可知：

抛物线的两条渐近线被抛物线的任意两条切线所切割成的两个线段的比值为一常量。

现在我们把切点O作为一个坐标系统的原点，把通过O的直径作为坐标系统的ｘ轴，切线B'C'作为坐标系统的y轴，考察B(x,y)与C(x',y')的两点的坐标值，那么，由于三角形BMD'与CQ'D'的相似性，我们得：

Y:Y' = BD':D'C = BB':AB'。

同样

Y:Y' = B'D':C'C = AC':C'C。

现在假设通过A，平行于一条直径，作一直线与y轴交于K，我们得

AK:OQ' = AC':CC' = y:y',

OM:AK = BB':AB' = y:y',

利用乘法，可得

OM:OQ' = y²:y'²

或

x:x' = y²:y'²

由此得到：

如果把抛物线的一条直径以及此直径端点的切线作为一个坐标系统的参考轴，则此抛物线上两个点的横坐标的比值等于它们对应纵坐标的平方的比值。

最后一个方程可以写成

y² = 2px，

其中

2p = y'²:x'。

由此可知，这里的抛物线与解析几何中讨论的抛物线的定义和性质是一致的。

120.用共轭直径表示有心圆锥线方程

与抛物线不同的是有心的圆锥曲线，也就是说，有一个中心位于有限平面内的圆锥曲线。我们为这类圆锥曲线作四条切线，且有两条切线为相互平行(图120-1)，其中一条交其他另两条切线于A和B，另一条交其他两条切线于C和D。再设P和Q是两条平行切线的切点，R和S是另两条切线的切点。则AC、BD、PQ和RS四条线全部交于一点W (§88)。由图可以看出，

PW:WQ = AP:QC = PD:BQ，

或

AP∙BQ = PD∙QC.

现在假设DC是一条固定的切线，而AB是一变化的切线，则PD和QC均为常量，我们从以上这个等式，可得

AP∙BQ = 常数。

图120-1 推导有心圆锥曲线的方程（ＭＳ中间点为Ｎ）

根据PA和BQ在同样或在相反方向，常数可以是正或负。相应地我们可写成

AP∙BQ = ± b²

因AD和BC是平行切线，PQ是直径，而共轭直径与AD是平行的。PQ的中点是圆锥曲线的中心。我们现在将直径PQ取为x轴，把与它共轭的直径作为y轴。连接AQ和BP并通过S作一直线平行与y轴。这三条直线应全部交于点N，因为AP, BQ和AB形成了圆锥曲线的外切三角形。设M是NS与PQ的交点，则，根据外切三角形的性质（见§89），M, N, S以及NS上的且无穷远点是四调和点。由此N是MS中点。如果S的坐标为(x,y)，则OM就是x，MS就是y。而MN = y/2。现在根据相似三角形PMN和PQB我们可得

BQ:PQ = NM:PM，

再从相似三角形PQA和MQN，得

AP:PQ = MN:MQ，

以上两式相乘，我们得

±b²/（4a²）= y²/4(a +x)(a - x)，

其中 a=PQ/2

由此，经简化，我们得

x²/a² ± y²/b² = 1,

这一公式根据b2的极性不同代表了两种结果，当取正号时代表一个椭圆，当为负时代表双曲线。

这样，我们就使二阶点列的方程与解析几何中的二次曲线方程完全等同了起来。