【圆锥曲线】圆锥曲线压轴题之切线问题

huyanluanyuya 2021-12-08

展开全文

愿你六月考出超常成绩，七月被理想学校录取，八月玩的开心不留遗憾，九月和喜欢的人读一所学校，不负韶华。

——小π

数学派交流群

QQ群：1046215334

想进群，可以在公众号后台回复

进群

来获取进群答案

今天小π带来的是

【圆锥曲线】圆锥曲线压轴题之切线问题

收录在数学派资料群

QQ群：790251300

欢迎进群下载电子版（可编辑Word版），便于打印！

小π，怎么下载（可编辑Word版）【圆锥曲线】圆锥曲线压轴题之切线问题？

小π在呢，方法在文末哦！

综述

圆锥曲线的切线问题有两种处理方法：

方法1：导数法，将圆锥曲线方程化为函数

y=f(x)

，利用导数法求出函数

y=f(x)

在点

(x_0,y_0)

处的切线方程，特别是焦点在

y

轴上常用此法求切线；

方法2：根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式

△=0

，即可解出切线方程，注意关于

x

（或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法

与切线有有关的结论：

1.椭圆的切线方程：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线方程是 $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$ ；椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 外一点 $P(x_0,y_0)$ 所引两条切线的切点弦方程是 $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$ .

2.双曲线的切线方程：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线方程是 $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$ ；双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 外一点 $P(x_0,y_0)$ 所引两条切线的切点弦方程是 $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1$ .

3.抛物线的切线方程：抛物线 $y^2=2px\ \ (p>0)$ 上一点处的切线方程是 $y_0y=p(x_0+x)$ ；抛物线 $y^2=2px\ \ (p>0)$ 外一点 $P(x_0,y_0)$ 所引两条切线的切点弦方程是 $y_0y=p(x_0+x)$ .

4.设抛物线 $C$ $y^2=2px\ \ (p>0)$ 的焦点为 $F$ ，若过点 $P$ 的直线 $PA,PB$ 分别与抛物线 $C$ 相切于 $A,B$ 两点，则 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

5.设椭圆 $C$ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>b>0)$ 的焦点为 $F$ ，若过点 $P$ 的直线 $PA,PB$ 分别与椭圆 $C$ 相切于 $A,B$ 两点，则 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

6.设双曲线 $C$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (a>0，b>0)$ 的焦点为 $F$ ，若过点 $P$ 的直线 $PA,PB$ 分别与双曲线 $C$ 相切于 $A,B$ 两点，则 $\angle{PFA}=\angle{PFB}$ .

【典例赏析】

（一）与圆有关的切线问题