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克莱因瓶到底是什么？ 克莱因瓶常常会在谈论物理学的时候被提及，看起来这个概念是物理学概念。但事实上，它其实是上一个数学概念。在数学领域当中，克莱因瓶的定义是：无定向性的平面。 在这当中其实就有一个我们比较陌生的概念：无定向性。这个概念是啥意思呢？ 比如，如果我们有一个平面，那你能找到关于这个平面的“内部”和“外部”之分吗？  实际上，你是找不到“内部”和“外部”的。同样的克莱因瓶是可以嵌入到一个在四维空间甚至是更高维度空间的闭合的曲面，而且它是没有边界的。  为了了解这个问题，我们可以降维来看，实际上和“克莱因瓶”类似的有个叫做：莫比乌斯环。两者唯一不同的是莫比乌斯环智能嵌入到三维空间中。同样的，你从莫比乌斯环中也找不到“内部”和“外部”，如果有个二维动物，它在莫比乌斯环上朝着一个方向跑步，那最终的结果就会绕到原地，这也是因为莫比乌斯环是个封闭的曲面。  而如果有个足够大的克莱因瓶，那么我们作为三维动物在其中朝着一个方向运动，最终的结果也应该是回到原地。  “克莱因瓶”能制造出来么？ 了解了“克莱因瓶”的特定，我们再来说说克莱因瓶是不是可以制造出来。事实上，我们根本没有办法在我们生活的三维空间把克莱因瓶准确地描绘出，即使真的描绘出来，也一定会出现很严重的错误。如果我们在网上搜索一下克莱因瓶，就会有如下的图片，这算是最常见的关于“克莱因瓶”的图片。那这个图片有什么错误呢？  如果，我们仔细看三维空间的“克莱因瓶”，就会发现有个地方发生了交叉的，并且穿过的问题。而事实上，“克莱因瓶”不应该会有类似于穿过的情况。  那问题来了，为什么会出现这样的情况，有办法避免么？ 三维空间中“克莱因瓶”的问题 关于这个问题，我们可以直接给出答案，这个问题没有办法避免，因此，在三维空间中制造不出“克莱因瓶”。 具体的原因其实也很好理解，不过，为了方便理解，我们讲一下维度来讲解。之所以这么做是因为思维对我们来说想象起来太难了。 “扭结”是我们日常生活当中经常见到的，就像下面这样的：  我们可以简易的，比如下面这样的：  上面这两张图，其实都是三维空间中的“扭结”结构。那它们在二维平面中到底长啥样呢？ 应该就是下面这样的，发现没有？如果用二维平面来表示三维的物体，不可避免地会出现这种“交叉”的情况。  而“克莱因瓶”是四维及以上空间的封闭曲面，因此，展现到三维当中就会出现“交叉”的问题，这和上面“扭结”的在二维中的情况是一模一样。 不仅如此，其实低维度对高纬度的描述常常带有不可避免的偏差。如果一个二维生物看到一个圆。  那它应该如何描述这个圆呢？ 假设它知道还存在三维空间，那它就一定能描述清楚这个圆所对应的的对象么？ 实际上，并不能，三维空间的物体在二维平面上投影是圆的很多，比如：球体，椭圆体，圆锥体。 如果二维的生物造了一个“圆”，然后它说这就是球体，你会认可么？其实，你会觉得这明摆着乱来。基于这两点，“克莱因瓶”其实就是一个在三维空间做不出来的东西。 |
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