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话说有这样一个神奇的瓶子， 即使人类将全世界所有的水都倒进去， 也没法把它装满 。。。  这个瓶子和我们平时用来喝水的杯子不一样， 它没有边境，它的表面也不会终结。  这个神秘的瓶子，就是克莱因瓶(Klein bottle)。  克莱因瓶最初由德国著名数学家菲立克斯·克莱因 (Felix Klein)在1882年提出。 Felix Klein 1849-1925 当年，克莱因的本意是Kleinsche Fl?che，也就是克莱因平面，没有内部外部之分，但后来传成了克莱因瓶。 如此神秘的瓶子，当然也引起了人们对偌大宇宙的猜想。 根据克莱因提出的概念模型，处在三维空间中的人们看到的克莱因瓶，是将瓶颈旋转一定角度后穿过瓶身，最终达到瓶底与洞口相连。 也就是说，我们目前看到的克莱因瓶的瓶颈与瓶身是相交的。 克莱因瓶的结构可表述为：一个瓶子底部有一个洞，在延长瓶子的颈部后，扭曲地进入瓶子内部，最后和底部的洞相连接。 它和球面不同 ，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面，即它没有内外之分。无论从什么地方穿透曲面，到达之处依然在瓶的外面，它本质上就是一个“有外无内”的古怪东西。 正是因为如此，克莱因瓶是永远装不满水的，即使你将大海放进去，也是一样。 在数学领域中，克莱因瓶是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”和“外部”之分。而在拓扑学中，它是一个不可定向的拓扑空间。 其实，特殊的克莱因瓶跟莫比乌斯环 (Mobius Band)也有以一定的联系。 公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁发现，把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质，这就是莫比乌斯环。 如果沿着克莱因瓶的对称线切下去，会得到两个互相镜像对称的莫比乌斯环。 在我们三维的世界里，一张纸有两面，但是对于二维世界的生物来来说，它就平面里，没有两个面。 在我们眼中，蚂蚁会爬过连成一体的两个面，才能回到原点。这时蚂蚁不用翻越纸的边缘，它可以爬行的距离增加了一倍。 但对于一只生活在平面内部的二维蚂蚁，其空间并没有增加，只是被扭曲，然后连接起来了。所以，它只需要爬行一周，就可以回到原处，这只蚂蚁同样不理解为什么三维世界的蚂蚁爬行的距离增加了一倍。 两条大小完全相同的莫比乌斯环，就可以拼接成一个克莱因瓶。没错，这两者都是无边无际的，有着相似的构造，只是所处空间不同。 如果莫比乌斯带能完美展现一个“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”的话，克莱因瓶只能作为展现一个“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”的参考。
答案是：在我们生活的世界里永远也不可能存在真正的克莱因瓶，因为克莱因瓶在现实生活中永远也不可能被造出来。 你会发现我们看见的克莱因瓶必然跟自身相交，用数学的语言说，这样得到的克莱因瓶在三维中的实现是克莱因瓶在三维空间中的浸入（immersion）。 但真正的克莱因瓶的瓶颈是通过第四维和瓶底相接的，并不需要穿过自身，并不会和自身相交。 根据爱因斯坦提出的理论，这是一个三维概念物，所以它只能存在于四维空间，是不可能嵌入三维空间中的。如果我们一定要将它展现在三维空间的话，其瓶颈只能穿过自身，这是三维空间无法顺利表达它的妥协之举，但这就违反了克莱因瓶的定义。 所以，这对于二维空间的“生物”来说他们不能理解空间被扭曲这一事实，当然对于三维空间中的人类来说，我们同样不能理解我们的空间正在通过额外的维度对接到自身的内部。 所谓真正的“克莱因瓶” 始终是大数学家克莱因脑子里头的“虚构物”， 根本制造不出来。 那么现在问题来了： 你觉得我们所处的这个“无边”的宇宙 是否就是一个巨大的、不断循环的 “克莱因瓶”呢 。。。 |
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