【原】【八上数学】 等腰三角形五大考点，必须收藏！

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转眼间，十月已经过半，距离期中考试的时间已不足半月，希望同学们能尽快进入复习迎考的状态！本讲，我们对等腰三角形的重要知识点作归纳！

一、概念归纳

1、等腰三角形是轴对称图形．

2、等腰三角形顶角的平分线（底边上的高、底边上的中线）所在直线是它的对称轴．

3、等腰三角形性质定理：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”．

在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

4、等腰三角形判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”．

在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC．

5、等腰三角形性质定理：三线合一

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

二、典例分析

1、角度计算

例1： 分析： 本题中，∠BAC是一个组合角，看作两个角的和，那么∠BDA也可以看作两个角的和，作为外角来证，问题得解． 解答： 在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， 在△ABD中，∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD， ∴∠C＝∠BAD， 在△ADC中， ∠ADB＝∠C＋∠DAC          ＝∠BAD＋∠DAC＝∠BAC．

变式： 如上图，若AB＝AC＝CD，且AD＝BD，求∠C度数． 分析： 本题较例1多了一个边等的条件，利用等边对等角，找到几个角之间的关系，设最小的角为x，利用内角和求解．注意外角的运用． 解答：

例2： 如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为_______． 分析： 本题中，要求∠DCE的度数，不妨间接考虑，求出∠CDE和∠CED的和，用内角和相减，比较简单． 解答：

2、三线合一

例1： 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，试说明：DE＝DF．(不用全等) 分析： 本题很多同学想到等边对等角，得到∠B＝∠C，接着证△BED≌△CFD．但本题不用全等，我们要另辟蹊径．想到点D是底边BC中点，我们可以连接AD，利用三线合一，以及角平分线性质定理． 解答：

例2： 分析： 本题同样不用全等，则必须添加辅助线，利用三线合一，底边上的高，也是底边上的中线． 解答： 过点A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，∴BD＝CD， ∵AM＝AN，∴MD＝ND， ∴BD－MD＝CD－ND，即BM＝CN．

3、平行＋角平分构造等腰

例1： 在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC分别交AB、AC于点D、E．请说明：DE＝BD＋EC． 分析： 显然，从图中直观可见，DE＝DO＋EC，则问题转化为证DO＋EC＝BD＋EC，根据平行，可得∠DOB＝∠OBC，根据角平分，可得∠DBO＝∠OBC，∴∠DOB＝DBO，DO＝BO，即蕴含了模型，平行＋角平分构造等腰． 解答：

例2： 根据下列已知条件，分别指出各个图形中的等腰三角形，并加以证明： (1)如图1，BD平分∠ABC，点E在BC上，且DE∥AB． (2)如图2，AD平分∠BAC，点、E在BA的延长线上，且EC∥AD． (3)如图3，AD平分∠BAC，点E在BD上，点G在CA的延长线上，且GE∥AD，GE交AB于点F． 分析： 本题是例1的不同变式，我们只需牢记，平行＋角平分构造等腰，问题就迎刃而解． 解答：

4、斜边中线

例1： 分析： 要证MN⊥BD，根据之前条件，N为BD中点，则MN垂直平分BD，联想中垂线的性质，中垂线上一点到线段两端距离相等，马上想到应该连接BM，DM． 解答：

例2： 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点 (1)AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长； (2)EF与AD有怎样的位置关系?证明你的结论． 分析： 本题第一问不难，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可．第二问，则再次考查垂直平分的相关知识点，书写格式详见《八上第7讲 你必须学会的《线段、角的轴对称性》书写格式！》中． 解答：

5、综合运用

例1： 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，交AD于点E，交BC的延长线于点F．求证：∠B＝∠CAF． 分析： 本题早在初一接触外角时，就作为一道课本习题，这里不过是增加了一些条件，先证出∠ADF＝∠DAF，则问题又转化为如同专题1的例1，∠ADF作外角，看作两角之和，∠DAF作组合角，看作两角之和． 解答：

例2： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E， 则下列结论一定成立的是（    ） A．BC＝EC   B．EC＝BE    C．BC＝BE   D．AE＝EC 分析： 本题是2018年扬州中考题，完全脱胎于教科书的练习题，稍作改编，这里有∠ACB＝∠ADC＝90°的条件，双垂直模型，则∠A＝∠DCB，与上例中，∠B＝∠CAF的位置几乎一样，条件结论互换而已． 解答：