【原】【八上数学】 《轴对称》最全知识点汇总

写在前面

轴对称这一章，知识点琐碎，内容繁杂，极易混淆，因此，计划利用3~4讲的篇幅，帮助同学们把握重难点，有所突破!

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一、知识梳理

1、轴对称

如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴．

两个图形中的对应点叫对称点．

2、轴对称图形

把一个图形沿一条直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这个图形关于这条直线(成轴)对称．

3、轴对称与对称轴的区别与联系

区别：

轴对称指的是两个图形的位置关系，而轴对称图形指的是具有对称性的某一个图形．

联系：

如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形．

如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称．

4、一些典型图形的对称轴条数和表述语言

正方形有4条对称轴，分别是对角线所在直线，2条；对边中点连线所在直线，2条．

长方形有2条对称轴，是对边中点连线所在直线，2条．

等腰三角形有1条对称轴，是顶角顶点与对边中点连线所在直线．(或顶角角平分线，底边中线，底边上的高所在直线)

等边三角形有3条对称轴，分别是任意顶点与对边中点连线所在直线，3条．(或任意角角平分线，任意边的中线，任意边上的高所在直线)

等腰梯形有1条对称轴，是上底中点与下底中点连线所在直线．

圆有无数条对称轴，分别是直径所在直线，无数条．

5、垂直平分线(中垂线)定义

垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

书写格式：

判定：

∵AO＝A′O，∠1＝90°，

∴l 是AA′的垂直平分线．

性质：

∵l是AA′的垂直平分线，

∴AO＝A′O，∠1＝∠2＝90° ．

6、轴对称性质

成轴对称的两个图形全等，且

(1)对应点的连线被对称轴垂直平分．

(2)对应点的连线互相平行(或在同一条直线上)．

(3)对应线段相等，对应角相等．

(4)对应线段所在直线的交点在对称轴上(或对应线段所在直线互相平行)．

如图：

(1)AA′，BB′，CC′，DD′，被l垂直平分．

(2)AA′∥BB′∥CC′，CC′、DD′在同一直线上．

(3)AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D′，AD＝A′D′，

  ∠BAD＝∠B′A′D′，∠ABC＝∠A′B′C′，

  ∠BCD＝∠B′C′D′，∠CDA＝∠C′D′A′．

(4)BA、B′A′，BC、B′C′，CD、C′D′的延长线交点在l上．

    DA、D′A′的延长线平行．

7、对称轴的作法

法1：作一条对应点的连线，并作其中垂线．

法2：作两条对应点的连线，并分别作其中点，两点确定一条直线．

法3：分别延长两对对应线段，确定两个交点，两点确定一条直线．

8、给出一个图形及对称轴，作其对称图形的作法

过原图形各点画对称轴的垂线，以各点到垂足的距离为半径，截取相等，将所作对应点分别相连．

二、实战演练

例1： 请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形与图中三角形成轴对称，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影． 分析： 我们应该利用轴对称图形的性质，先选择不同的直线当对称轴，再作对称图形．显然大方格作为正方形，有4条对称轴，而还有一条比较难想，对称轴可以经过斜边和直角边的中点． 解答：

例2： 如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则可以瞄准的点有哪些？ 分析： 本题中，对于桌面反弹的问题，其实属于物理中的光路问题，入射角等于反射角，而将入射角作对称后，恰好与反射角是对顶角，光线在同一直线上，因此我们考虑作对称． 解答：

变式： 如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反弹)，则该球最后落入的球袋是______袋. 分析： 本题与例2类似，但如果每次都作对称，未免太过麻烦，我们不难发现入射线与桌边的夹角为45°，则反射后的夹角也为45°，问题得解． 解答：

例3： 如图，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点M． (1)连接OP1，OP2，求∠P1OP2的度数． (2)若P1P2＝8，求△PMN周长． 分析： (1)要求∠P1OP2的度数，直接求显然很困难，我们不妨从对应线段考虑，则想到连接OP． (2)同样的，将组成三角形的三条线段中，能找到对应相等的线段找出，进行转化． 解答：

变式： 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A′′B′′C′′关于直线EF对称． (1)画出直线EF； (2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB′′与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系． 分析： (1)问不难，只需用3种方法中的任意一种即可． (2)问与例3类似，准确依据题意，画出图形后，根据对称性，连接对应线段就能有所突破． 解答： (1)如图，连接B′B′′，C′C′′，各取中点，连接后，直线EF即为所求． (2)连接OB′， ∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称， ∴∠BOM＝∠B′OM， 同理可得∠B′OE＝∠B′′OE， ∴∠BOB′′＝∠BOB′＋∠B′OB′′          ＝2∠B′OM＋2∠B′OE          ＝2∠MOE＝2α．