二项式定理中的“对偶式”

在三角函数的化简求值中，有下列一类数学问题，如果巧妙地构造互余型对偶式，可以使得问题的求解化繁为简，出奇制胜，意想不到。同理，在数学的其他分支（特别是二项式）中，如果巧妙的构造二项式类型的对偶式，也可以简便快捷解题过程，起到事半功倍之功效。下面通过有限的几个客观数学实例，抛砖引玉，以飨读者。

【三角对偶式回归】

（感悟）构造三角型对偶式（角度不变，名称互余）后，本题巧妙地回避了诱导公式与和差角公式，只是完成小学级别的加减乘除运算。

（感悟）构造三角型对偶式（角度不变，名称互余）后，本题巧妙地回避了积化和差与诱导公式

，只是进行简单的加减乘除运算和初步的诱导公式。

此题有多种解法（正余弦定理就是上上之策），今给出构造三角互余型对偶式的简洁解法如下：

（感悟）构造三角型对偶式（角度不变，名称互余）后，巧妙回避了和差化积公式，倍角公式，诱导公式，快捷的完成本题求解。

以上的“三角互余型对偶式”是三角函数求值中的常见方法，具体方法是：先构造出与要求解的问题A结构完成一致（角度相应不变化），但三角名称互余的对偶式B，然后通过A与B之间的内在关联（加减乘除）关系，求得A的三角函数值。

【二项对偶式探究】

下面是“二项型对偶式”在数学其他分支（二项式展开）中的具有灵活应用的亲身体会：

（感悟）本题是一个著名的不等式（是初级次幂均值不等式的推广），有许多不同的巧妙求解方法，但在此，我们创造性的给出“二项型对偶式”的巧妙解题方法。

（感悟）本题是一道传统典型的二项式计算题目，变量赋值是完成二项式一般系数和的常用方法，但是这里，却巧妙的通过构造二项型对偶式完成了快捷求解。

（感悟）本题是一道传统典型的二项式竞赛计算题目，在平时的竞赛培训中，一般都是引进复数，利用二项式通项就，进行按部就班的求解。但是，此次却给出了巧妙的二项型对偶式，对数利用复数的特征与计算，完成快捷计算。

（感悟）构造二项型对偶式，利用展开式的奇数项和，与偶数项和之间的关系，快捷解答。

（感悟）构造二项型对偶式，利用展开式的奇数项和，与偶数项和之间的关系，快捷解答。

【挑战自我】

（感悟）构造三角型互余式，利用诱导公式，快捷计算。

（感悟）构造二项型互余式，并完成变量换元，结合二项式结构特征，快速求解。