【专题突破】二次函数面积系列—最值、定值、等值

本文介绍三类二次函数大题中常见的面积问题：最值问题、定值问题、等值问题，常用处理方法除了上一篇介绍的面积系列之铅垂法之外，还有等积变换也是常用的思路~

01

最值问题

问题描述

如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，使得△PBC面积最大，求面积最大值及此时P点坐标．

【分析】除了上文介绍的铅垂法外，将再介绍一种思路：

构造平行切线：以BC为底边，过点P向BC作垂线PH交BC于H点，求△PBC面积最大，在底边BC确定不变的前提下，PH最大即可．

过点P作PQ∥BC，当PQ与抛物线相切时，PQ与BC距离最大，即PH最大．

如何求解P点坐标？

（1）求BC解析式：y=-x+3；

（2）根据PQ∥BC，可设PQ解析式：y=-x+m；

（3）根据相切，联立方程：-x²+2x+3=-x+m，根的判别式为0，可求m的值

（4）根据P点坐标，即可求得△PBC面积的最大值．

但其实即便算出了P点坐标，求△PBC面积也还是要费点事~

不过却为另一类最值问题提供了一种思路：

最值衍生

如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC．

（1）垂线段最值：过点P作PH⊥CB交CB于H点，求PH最大值及此时P点坐标．

思路1：所谓PH最大，即△PBC面积最大，可用铅垂法求得△PBC面积最大值，再除以BC即可得PH最大值．

思路2：过P点作PQ⊥x轴交BC于Q点，

则△PHQ∽△BOC，PH:BO=PQ:BC，

（k为直线BC的斜率）

（2）相关三角形最值：过点P作PH⊥BC交BC于H点，作PQ⊥x轴交BC于Q点，求△PHQ周长最大值及面积最大值．

思路：把握住△PHQ∽△BOC，不管是求周长最大还是面积最大，都可转化为PQ最大值．

周长、面积均可求．

2019聊城中考（删减）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-2,0），点B（4,0），与y轴交于点C（0,8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．

【分析】

（1）y=-x²+2x+8；

（2）根据B、C两点坐标得

直线BC解析式：y=-2x+8，

设点P坐标为（m，-m²+2m+8），

则点D坐标为（m，-2m+8），

故线段PD=-m²+2m+8-（-2m+8）=-m²+4m

当m=2时，PD取到最大值4，

2019高新区一模（删减）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-2ax-3a（a>0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．

（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为25/4时，求抛物线的函数表达式；

【分析】

（1）点A（-1,0），点D（4,5a），

可得直线l的解析式为：y=ax+a．

（2）用铅垂法根据最大面积反求参数a．

设E点坐标为（m，am²-2am-3a），

作EF⊥x轴交AD于F点，

则F点坐标为（m，am+a），

EF=am+a-（am²-2am-3a）=-am²+3am+4a

∴当m=3/2时，EF最大值为25a/4．

△ADE面积最大值为1/2×5×25a/4=25/4，

解得：a=2/5．

∴抛物线解析式为：

02

定值问题

问题描述

如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标．

思路1：铅垂法列方程解

根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，

设点P坐标为（m，-m²+2m+3），

过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，

则点Q坐标为（m，-m+3），

分类讨论去绝对值解方程即可得m的值．

思路2：构造等积变形

同底等高三角形面积相等．

取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2，

在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点．

当点Q坐标为（0,5）时，

PQ解析式为：y=-x+5，

联立方程：-x²+2x+3=-x+5，解之即可．

当点Q坐标为（0,1）时，

PQ解析式为：y=-x+1，

联立方程：-x²+2x+3=-x+1，解之即可．

2019临沂中考（删减）

在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax²+bx+c（a<0）经过点A、B．

（1）求a、b满足的关系式及c的值．

（2）如图，当a=-1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）点A（-2,0），点B（0,2），

代入解析式可得：c=2，4a-2b+2=0

（2）考虑A、B水平距离为2，

△PAB的面积为1，故对应的铅垂高为1．

当a=-1时，可得b=-1，

抛物线解析式为y=-x²-x+2．

取点C（0,3）作AB的平行线，

其解析式为：y=x+3，

联立方程-x²-x+2=x+3，解得x=-1，

故点P1坐标为（-1,2）

取点D（0,1）作AB的平行线，其解析式为：y=x+1，

联立方程-x²-x+2=x+1，解得：

     

对应两个P点坐标分别为：

     

同样，等积变形还适合：等积问题．

03

等值问题

问题描述

如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线上存在一点P使得△PBC的面积等于△BOC的面积，求点P坐标．

思路1：铅垂法

计算出△BOC面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解．

思路2：构造等积变形

过点O作BC的平行线，与抛物线交点即为所求P点，

另外作点O关于点C的对称点M，过点M作BC平行线与抛物线的交点亦为所求P点．

先求直线解析式，再联立方程即可求得P点坐标．

2019凉山州中考

如图，抛物线y=ax²+bx+c的图像过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得△PAM面积与△PAC面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

 

【分析】

（1）抛物线解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）将军饮马问题，作点C关于对称轴的对称点C’（2,3），连接AC’，与对称轴交点即为所求P点，可得P点坐标为（1,2），△PAC的周长亦可求．

（3）过点C作AP平行线与抛物线交点即为M点，联立方程得解；记AP与y轴交点为Q点，作点C关于Q点的对称点点D，过点D作AP的平行线．

与抛物线在x轴上方部分的交点即为所求M点，

联立方程得解．

写在最后：

最值问题用铅垂，

定值等值构等积．