面积最值问题（二次函数综合类）

原题如下：如图，二次函数y=x²+bx+c的图像与 x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B（3，0），

与y轴交于点C（0，-3），点P是直线BC下方抛物线上一动点；

（1）求此二次函数解析式；

（2）求△BCP面积的最大值，并求此时点P的坐标.

01

转化为函数最值问题

∵点P在二次函数y=x²-2x-3的图像上

∴可设点P（m，m²-2x-3）

接下来我们要做的就是将△BCP的面积与m建立函数关系，并利用函数最值问题求得面积最值问题.

如下图所示

△BCP显然常用的求解此面积的方法便是割补法：我们可采取如下割补形式：

①补成可求四边形面积

如上图所示该四边形OCPB的面积可通过连接线段OP分割成两个简单易求得三角形面积之和（体现平面直角坐标系中“化斜为正”的思想）

同学们思考一下：此时△BPC的面积可以用含m的代数式表示成          .

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                                 Thinking Now

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由于点P所在的曲线段（0＜Px＜3）包含二次函数（面积表达式）的顶点坐标（3/2,27/8），因此，当点P为（3/2,27/8）时，△BCP面积达到最大值，最大值为8.

②补成一个矩形面积

同学们思考一下：此时△BPC的面积可以怎么求解？

（当然答案肯定与第一种情况一样，此处老师不在赘述）

③割成两个达到“化斜为正”效果的小三角形（铅锤法求面积）

（此处点G的作用很关键，点G在直线BC：y=x-3上，且点G的横坐标与点P的横坐标相同，都为m，代入直线BC的表达式即可求得点G的坐标.）

02

转化为线段最值问题

我们发现△BCP的一条边BC是一条定线段，即长度是确定的，则唯一影响其面积大小的就只剩下BC边上的高了. 换一句话说，把面积最值问题转化成寻找一个点P使得点P到直线BC的距离最大即可.

什么时候满足已知条件的点P会离直线BC最远呢，只需要将直线BC向下平移直到与抛物线只有一个交点（即直线PE与抛物线相切于点P），那么这个切点可以怎么求呢？利用“交轨法”。

我们直到直线PE//BC，所以直线PE的斜率K与直线BC的斜率k相等，即k=1, 故而可设直线PE：y=x+m

又点P还在抛物线y=x²-2x-3（0＜x＜3）这一部分函数图像上，故而我们可令y=y求点P的坐标.

令y=y之后，得到一元二次方程：x²-3x-3-m=0，由于直线PE与抛物线只要一个交点，所以该一元二次方程只能有两个相同的实数根，即△=0,即可求得m的值，然后在代入该一元二次方程，最终求得点P的坐标.

（当然，大家发现了，如果是求点P的坐标，这种方法还是挺快的，但若还要求面积的最大值，这种方法就没有利用函数最值就面积最值来得快速了。）

爱

生活是一首欢乐的歌

叮铃铃”，下课声响了，我又上了一节妙趣横生的课，自从上次学会好好做笔记，上课也容易静下心来听老师讲课这个重要的道理之后，我每次都跟着老师的步伐听讲，虽然有时偶尔会去做下面的笔记。

生

生活需要无处不在的掌声

生活中掌声无处不在，无论是成功和失败，前进和后退，这生活中每一处细节都需要掌声。

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生活在当下最重要

昨天已经成为历史，翻过了就无须再遗憾；明天尚未到来，尽管它充满着无限的可能，毕竟还是个未知数。