|
爱心之家园 有些数学题，解答时若方法不当，分析不到位，真有点“山重水复”之感，解答抛物线上的三角形面积问题，便是如此。下面笔者将用“三角形同底等高面积相等的性质”通过例题来分析抛物线上的三角形面积问题的几个知识点。 一、已知三角形两个顶点及面积求第三个顶点的坐标 1.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P为抛物线上一点，且S△BCP＝3，求P点的坐标。（“x2”表示x的平方，下同） 分析：令y＝－x2＋2x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3，令x＝0，得y＝3，∴A（－1，0），B（3，0），C（0，3） 构造含有BC边且面积等于3的三角形，因OC＝3，只需在x轴取点N（1，0）和M（5，0）便有BM＝BN＝2， S△BMC＝S△BNC＝ 1/2BM·OC＝ 1/2BN·OC＝3 过M点作直线a∥BC交抛物线于P1，P2，过N点作直线b∥BC交抛物线于P3，P4，则S△BCP1＝S△BCP2＝S△BCP3＝S△BCP4＝3 ∵直线BC的解析式为：y＝－x＋3，∵a∥b∥BC， 而M点的坐标为（5，0）N点的坐标为（1，0） 可得a：y＝－x＋5，b：y＝－x＋1 2.已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P为抛物线上一点（不与B重合） 且S△BCP＝2S△ABC，求P点的坐标。 分析，可求得A点的坐标为（－1，0），B（3，0），C（0，3） ∵S△ABC＝3，∴S△BCP＝6，构造含有BC边的三角形使其面积为6， 取点M（7，0），则MB＝4，S△BMC＝6，或取点N（－1，0） 则S△BNC＝6，过M点作直线a平行BC交抛物线于P1，P2，过N点 作BC的平行线，显然与抛物线无交点。 可求得直线a的解析式为：y＝－x＋7 所以P点的坐标为（－1，6）或（4，3） 3．已知y＝0.5x2＋mx－2m－2（m＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，抛物线上有一点D（－1，n），若△ACD的面积为5， （1）求A，B，C三点的坐标（用含m的代数式表示）； （2）求m的值 分析：令y＝0.5x2＋mx－2m－2＝0， x1＝2，x2＝－2m－2，令x＝0得，y＝－2m－2 ∴A点的坐标为（－2m－2，0），B点的坐标为（2，0），C（0，－2m－2） （2）∵A（－2m－2，0），C（0，－2m－2） ∴OA＝OC，∴AC：y＝－x－2m－2 过D点作AC的平行线交x轴于E，则S△ACE＝S△ACD＝5 设DE：y＝－x＋b，∵D（－1，－3m－1.5）， ∴－3m－1.5＝1＋b，∴b＝－3m－2.5， ∴DE：y＝－x－3m－2.5 令y＝0得：x＝－3m－2.5，∴A（－3m－2.5，0） ∴AE＝xA－xE＝（－2m－2）－（－3m－2.5）＝m＋0.5 ∴S△ACE＝0.5AE·CO＝5，∴0.5(m＋0.5)(2m＋2)＝5 ∴m1＝1.5，x2＝－3（舍去）故m的值为1.5 二、已知三角形两个顶点及面积有最大值，求第三个顶点的坐标 4.如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2. （1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P抛物线上一动点，当△PAC面积最大时，求P点的坐标. 分析：令y＝x2－2x－3＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴ A（－1，0），B（3，0）， 将x＝2代入抛物线解析式得，y＝－3，∴C（2，－3） 可知AC：y＝－x－1 过P点作直线PD平行于AC交x轴于D，当直线PD与抛物线相切于P点时S△ACP面积最大， 设PD：y＝－x＋b 看来解决抛物线上的面积问题的有关题，分析思考时，灵机一动，眼前一亮，找到好的解题方法，问题迎刃而解，又有“柳暗花明”之喜。 |
|
|
