【原】2019高考全国卷Ⅰ理综物理部分(第21题)

21．在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（   ）

A．M与N的密度相等

B．Q的质量是P的3倍

C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍

D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍

【解析】

设星球M、N的质量分别为M₁、M₂，半径分别为r₁、r₂，密度分别为ρ₁、ρ₂，表面的重力加速度分别为g₁、g₂；物体P、Q的质量分别为m₁、m₂；弹簧的劲度系数为k。

图示是物体的加速度与弹簧压缩量之间的关系，压缩量为零时物体的加速度即等于星球表面的重力加速度（即图像与纵轴交点处的取值）；物体加速度为零时，弹簧弹力与物体的重力等大反向，物体所受合力为零，此时弹簧的形变量，即是图像与横轴交点处的取值。所以：

物体在星球表面处所受的重力等于万有引力，即：

物体P从弹簧上端由静止开始向下运动，到弹簧被压缩到最短的过程，是一个加速度随位移均匀减小到零再反向均匀增大、速度从零开始逐渐增大到最大值再减小到零的过程。加速度减小到零的时刻，就是物体速度最大的时刻，也是物体所受合力为零的时刻，对应的位移即是图中的x₀。物体Q也是相同的规律，对应的位移即是图中的2x₀。

物体P所受的合外力是变力，所做的功可通过题目给出的a-x图像来求解。合外力等于物体质量与加速度的乘积，给图中的纵轴a乘以物体质量m，就变成了表示合外力F的坐标轴，图中的a-x图像将变成F-x图像。F-x图像也是直线，与横轴的交点仍然是x₀、2x₀，与纵轴的交点则变为ma₀、3ma₀；F-x图像与坐标轴所围成的面积，在数量上等于合外力做的功，也等于物体的最大动能。由图可知：

物体P从静止开始下落，到弹簧被压缩到最短（即达到最大压缩量）的整个过程中，物体的动能变化量为零，合外力对物体所做的功为零。其中重力做了正功，弹簧弹力做了负功，两者在数量上是相等的。把重力、弹力与压缩量之间的关系画在同一个坐标系中：

压缩量为X₀时，重力G和弹力F等大反向，加速度减小到零，物体速度达到最大；此时重力做的功在数量上等于矩形GOX₀A的面积，弹力做的功等于三角形AOX₀的面积，两者的面积之差，即三角形GOA的面积，在数量上等于合外力的功，也等于物体的最大动能。设最大压缩量为Xʹ，则重力做的功等于矩形GOXʹB的面积，弹力做的功等于三角形OXʹFʹ的面积，要使两者面积相等，则ΔGOA要全等于ΔABFʹ，所以有：

X₀Xʹ=AB=GA=OX₀，所以最大压缩量是X₀的2倍，即2X₀；

同理，物体Q下落过程中弹簧的最大压缩量为2X₀的2倍，即4X₀。

最大压缩量为2倍关系，所以选项D错误。

【答案】AC。

【拓展】

物体P、Q的运动过程实质上是一个简谐运动，其振幅分别为X₀、2X₀；所以最大压缩量分别为2X₀、4X₀。