还记得小时候的万花尺吧?这么画: 一点也不费脑筋,就可以出来这么多丰富多彩的复杂几何图形。 具体而言,可以用万花尺玩具(如图2-1所示)来绘制数学曲线。这种玩具由两个不同尺寸的塑料齿轮组成,一大一小。小的齿轮有几个孔。把钢笔或铅笔放入一个孔,然后在较大齿轮(内部有齿)内旋转里面的小齿轮,保持笔与外轮接触,可以画出无数复杂而奇妙的对称图案。 图2-1 万花尺 现在,在电脑里,用Python也可以这么玩了,让我们看看Python的万花尺效果吧。(不用急,程序在后哦) $ python spiro.py 默认情况下,spiro.py程序绘制随机螺线,如图2-5所示。按S键保存绘制。 图2-5 spiro.py的运行示例 再次运行程序,这次在命令行传入参数,画出特定的螺线。 $ python spiro.py --sparams 300 100 0.9 图2-6展示了输出结果。如你所见,这段代码根据用户指定的参数绘制了一条螺线,图2-5和它不同,展示了几个随机螺线的动画。 图2-6 用具体参数运行spiro.py的示例 这么神奇又好玩的万花尺,在Python里怎么玩呢? 不要走开,让我们继续下面的Python之旅。 在这个项目中,我们将用Python来创建动画,像万花尺一样绘制曲线。我们的spiro.py程序将用Python和参数方程来描述程序的万花尺齿轮的运动,并绘制曲线(我称之为螺线)。我们可以将完成的画图保存为PNG图像文件,并用命令行选项来指定参数或生成随机螺线。 在这个项目中,我们将学习如何在计算机上绘制螺线。还将学习以下几点:
参数方程在本节中,你将看到用参数方程来画圆的简单例子。参数方程将曲线上点的坐标表示为一个变量的函数,该变量称为参数。参数方程让绘制曲线变得容易,因为只要将参数代入方程就能产生曲线。
我们开始考虑用半径 r 来描述一个圆的方程,圆心位于二维平面的原点。 x 、 y 坐标满足该方程的所有点构成了圆。 现在,请考虑下面的方程: x = r cos( θ ) y = r sin( θ ) 这些方程是圆的参数表示,其中角 θ 是参数。这些方程中(X,Y)的任何值,都满足前面描述的圆的方程,X 2 + Y 2 = R 2 。如果让 θ 从0变到2π,可以用这些方程来计算圆上对应的 x 和 y 坐标。图2-2展示了这种方案。 图2-2 用参数方程描述圆 记住,这两个方程适用于圆心在坐标系原点的圆。将圆心转换到点( a , b ),就可以将圆置于 xy 平面的任何位置。所以更一般的参数方程就变成 x = a + r cos( θ )和 y = b + r cos( θ )。现在,让我们来看看描述螺线的方程。 万花尺方程图2-3展示了类似万花尺运动的数学模型。该模型没有齿轮,因为玩具中的齿轮只是为了防止打滑,而在这里不必担心打滑。 图2-3 万花尺数学模型 在图2-3中,C是较小的圆的圆心,P是笔尖。较大的圆半径为 R ,较小的圆半径为 r 。半径之比表示如下: 将线段PC与小圆半径 r 之比作为变量l(l = PC / r ),它决定了笔尖离小圆圆心有多远。然后,组合这些变量来表示P的运动,得到如下的参数方程:
图2-4展示了如何用这些方程,基于参数的变化,产生一条曲线。通过改变参数 R 、 r 和 l ,可以产生变化无穷的迷人曲线。 图2-4 示例曲线 将曲线绘制为一系列点之间的线段。如果这些点足够接近,图看起来就像平滑的曲线。真正玩过万花尺就知道,这取决于使用的参数,万花尺可能需要许多转数来完成。要确定何时停止绘图,就要利用万花尺的周期性(即万花尺图案多久开始重复),研究内外圆的半径之比: 分子分母除以它们的最大公约数(GCD),化简该分数,分子就告诉我们需要多少圈才能完成曲线。例如,在图2-4中,( r , R )的GCD是5。 下面是该分数化简后的形式: 这告诉我们,13圈后,曲线将开始重复。44告诉我们小圆围绕其中心旋转的圈数,它提示了曲线的形状。在图2-4中数一下,会看到图形中花瓣或叶的数目恰好是44! 一旦用简化形式表示了半径比 r / R ,画出螺线的参数 θ 范围就是[0,2πr]。这告诉我们何时停止绘制特定的螺线。不知道该角度的结束范围,就会循环不止,不必要地重复该曲线。 海龟画图我们可以用Python的turtle模块来创建图案。这是一个简单的绘图程序,模型是一只海龟拖着尾巴穿过沙滩,留下图案。turtle模块包括了一些方法,用于设置笔(海龟的尾巴)的位置和颜色,以及其他有用的绘图函数。如你所见,只要少量绘图函数,就可以创建漂亮的螺线。 例如,这个程序用turtle画圆。输入以下代码,保存为drawcircle.py,在Python中运行它: import math① import turtle # draw the circle using turtle def drawCircleTurtle(x, y, r): # move to the start of circle② turtle.up()③ turtle.setpos(x + r, y)④ turtle.down() # draw the circle⑤ for i in range(0, 365, 5):⑥ a = math.radians(i)⑦ turtle.setpos(x + r*math.cos(a), y + r*math.sin(a))⑧ drawCircleTurtle(100, 100, 50)⑨ turtle.mainloop() 在①行,从导入turtle模块开始。接下来,定义drawCircleTurtle()方法,它在②行调用up()。这告诉Python提笔。换句话说,让笔离开虚拟的纸,这样移动海龟也不会画图。开始绘图之前,先定位海龟。 在③行,将海龟的位置设置为横轴上的第一个点:(x + r, y),其中(x,y)是该圆的圆心。现在准备好画图了,所以在④行调用down()。在⑤行,利用range(0, 365, 5)开始循环,以5为步长递增变量i,从0到360,变量i是角度参数,将传入圆的参数方程,但首先在⑥行将它从度转为弧度(大多数计算机程序的角度计算需要弧度)。 在⑦行,利用前面讨论过的参数方程计算圆的坐标,并设置相应的海龟位置,这样就从海龟上一个位置画线到新计算的位置(从技术上讲,产生的是N边多边形,但因为用了很小的角度,N将非常大,多边形看起来像一个圆)。 在⑧行,调用drawCircleTurtle()来画圆,在⑨行,调用mainloop(),它保持tkinter窗口打开,让你可以欣赏你画的圆(Tkinter是Python默认的GUI库)。 现在,我们准备好画一些螺线了! 所需模块我们将利用下面的模块创建螺线:
代码首先,定义类Sipro,来绘制这些曲线。我们会用这个类一次画一条曲线(利用draw()方法),并利用一个定时器和update()方法,产生一组随机螺线的动画。为了绘制Spiro对象并产生动画,我们将使用SpiroAnimator类。 要查看完整的项目代码,请直接跳到2.4节。 Spiro构造函数下面是Spiro构造函数: # a class that draws a Spirograph class Spiro: # constructor def __init__(self, xc, yc, col, R, r, l): # create the turtle object① self.t = turtle.Turtle() # set the cursor shape② self.t.shape('turtle') # set the step in degrees③ self.step = 5 # set the drawing complete flag④ self.drawingComplete = False # set the parameters⑤ self.setparams(xc, yc, col, R, r, l) # initialize the drawing⑥ self.restart() 在①行,Spiro构造函数创建一个新的turtle对象,这将有助于我们同时绘制多条螺线。在②行,将光标的形状设置为海龟(在 https://docs./3.3/library/ turtle.html ,你可以在turtle文档中找到其他选项)。在③行,将参数绘图角度的增量设置为5度,在④行,设置了一个标志,将在动画中使用它,它会产生一组螺线。 在⑤和⑥行,调用设置函数,接下来讨论该函数。 设置函数现在让我们看看getParams()方法,它帮助初始化Spiro对象,如下所示: # set the parameters def setparams(self, xc, yc, col, R, r, l): # the Spirograph parameters① self.xc = xc self.yc = yc② self.R = int(R) self.r = int(r) self.l = l self.col = col # reduce r/R to its smallest form by dividing with the GCD③ gcdVal = gcd(self.r, self.R)④ self.nRot = self.r//gcdVal # get ratio of radii self.k = r/float(R) # set the color self.t.color(*col) # store the current angle⑤ self.a = 0 在①行,保存曲线中心的坐标。然后在②行,将每个圆的半径( R 和 r )转换为整数并保存这些值。在③行,用Python模块fractions内置的gcd()方法来计算半径的GCD。我们将用这些信息来确定曲线的周期性,在④行将它保存为self.nRot。最后,在⑤行,保存当前的角度,我们将用它来创建动画。 restart()方法接下来,restart()方法重置Spiro对象的绘制参数,让它准备好重画: # restart the drawing def restart(self): # set the flag① self.drawingComplete = False # show the turtle② self.t.showturtle() # go to the first point③ self.t.up()④ R, k, l = self.R, self.k, self.l a = 0.0⑤ x = R*((1-k)*math.cos(a) + l*k*math.cos((1-k)*a/k)) y = R*((1-k)*math.sin(a) - l*k*math.sin((1-k)*a/k))⑥ self.t.setpos(self.xc + x, self.yc + y)⑦ self.t.down() 这里用了布尔标志drawingComplete,来确定绘图是否已经完成,在①行初始化该标志。绘制多个Spiro对象时,这个标志是有用的,因为它可以追踪某个特定的螺线是否完成。在②行,显示海龟光标,以防它被隐藏。在③行提起笔,这样就可以在⑥行移动到第一个位置而不画线。在④行,使用了一些局部变量,以保持代码紧凑。然后,在⑤行,计算角度a设为0时的 x 和 y 坐标,以获得曲线的起点。最后,在⑦行,我们已完成,并落笔。Setpos()调用将绘制实际的线。 draw()方法draw()方法用连续的线段绘制该曲线。 # draw the whole thing def draw(self): # draw the rest of the points R, k, l = self.R, self.k, self.l① for i in range(0, 360*self.nRot + 1, self.step): a = math.radians(i)② x = R*((1-k)*math.cos(a) + l*k*math.cos((1-k)*a/k)) y = R*((1-k)*math.sin(a) - l*k*math.sin((1-k)*a/k)) self.t.setpos(self.xc + x, self.yc + y) # drawing is now done so hide the turtle cursor③ self.t.hideturtle() 在①行,迭代遍历参数i的完整范围,它以度表示,是360乘以nRot。在②行,计算参数i的每个值对应的 X 和 Y 坐标。在③行,隐藏光标,因为我们已完成绘制。 创建动画update()方法展示了一段一段绘制曲线来创建动画时所使用的绘图方法。 # update by one step def update(self): # skip the rest of the steps if done① if self.drawingComplete: return # increment the angle② self.a += self.step # draw a step R, k, l = self.R, self.k, self.l # set the angle③ a = math.radians(self.a) x= self.R*((1-k)*math.cos(a) + l*k*math.cos((1-k)*a/k)) y = self.R*((1-k)*math.sin(a) - l*k*math.sin((1-k)*a/k)) self.t.setpos(self.xc + x, self.yc + y) # if drawing is complete, set the flag④ if self.a >= 360*self.nRot: self.drawingComplete = True # drawing is now done so hide the turtle cursor self.t.hideturtle() 在①行,update()方法检查drawingComplete标志是否设置。如果没有设置,则继续执行代码其余的部分。在②行,update()增加当前的角度。从③行开始,它计算当前角度对应的(X,Y)位置并将海龟移到那里,在这个过程中画出线段。 讨论万花尺方程时,我提到了曲线的周期性。在一定的角度后,万花尺的图案开始重复。在④行,检查角度是否达这条特定曲线计算的完整范围。如果是这样,就设置drawingComplete标志,因为绘图完成了。最后,隐藏海龟光标,你可以看到自己美丽的创作。 SpiroAnimator类SpiroAnimator类让我们同时绘制随机的螺线。该类使用一个计时器,每次绘制曲线的一段。这种技术定期更新图像,并允许程序处理事件,如按键、鼠标点击,等等。但是,这种计时器技术需要对绘制代码进行一些调整。 # a class for animating Spirographs class SpiroAnimator: # constructor def __init__(self, N): # set the timer value in milliseconds① self.deltaT = 10 # get the window dimensions② self.width = turtle.window_width() self.height = turtle.window_height() # create the Spiro objects③ self.spiros = [] for i in range(N): # generate random parameters④ rparams = self.genRandomParams() # set the spiro parameters⑤ spiro = Spiro(*rparams) self.spiros.append(spiro) # call timer⑥ turtle.ontimer(self.update, self.deltaT) 在①行,该SpiroAnimator构造函数将DeltaT设置为10,这是以毫秒为单位的时间间隔,将用于定时器。在②行,保存海龟窗口的尺寸。然后在③行创建一个空数组,其中将填入一些Spiro对象。这些封装的万花尺绘制,然后循环N次(N传入给构造函数SpiroAnimator),在⑤行创建一个新的Spiro对象,并将它添加到Spiro对象的列表中。这里的rparams是一个元组,需要传入到Spiro构造函数。但是,构造函数需要一个参数列表,所以用Python的*运算符将元组转换为参数列表。 最后,在⑥行,设置turtle.ontimer()方法每隔DeltaT毫秒调用update()。 请注意,在④行调用了一个辅助方法,名为genRandomParams()。接下来就看看这个方法。 genRandomParams()方法我们用genRandomParams()方法来生成随机参数,在每个Spiro对象创建时发送给它,来生成各种曲线。 # generate random parameters def genRandomParams(self): width, height = self.width, self.height① R = random.randint(50, min(width, height)//2)② r = random.randint(10, 9*R//10)③ l = random.uniform(0.1, 0.9)④ xc = random.randint(-width//2, width//2)⑤ yc = random.randint(-height//2, height//2)⑥ col = (random.random(), random.random(), random.random())⑦ return (xc, yc, col, R, r, l) 为了生成随机数,利用来自Python的random模块的两个方法:randint(),它返回指定范围内的随机整数,以及uniform(),它对浮点数做同样的事。在①行,将R设置为50至窗口短边一半长度的随机整数,在②行,将r设置为R的10%至90%之间。 然后,在③行,将l设置为0.1至0.9之间的随机小数。在④和⑤行,在屏幕边界内随机选择 x 和 y 坐标,选择屏幕上的一个随机点作为螺线的中心。在⑥行随机设置为红、绿和蓝颜色的成分,为曲线指定随机的颜色。最后,在⑦行,所有计算的参数作为一个元组返回。 重新启动程序我们将用另一个restart()方法来重新启动程序。 # restart spiro drawing def restart(self): for spiro in self.spiros: # clear spiro.clear() # generate random parameters rparams = self.genRandomParams() # set the spiro parameters spiro.setparams(*rparams) # restart drawing spiro.restart() 它遍历所有的Spiro对象,清除以前绘制的每条螺线,分配新的螺线参数,然后重新启动程序。 update()方法下面的代码展示了SproAnimator中的update()方法,它由定时器调用,以动画的形式更新所有的Spiro对象: def update(self): # update all spiros① nComplete = 0 for spiro in self.spiros: # update② spiro.update() # count completed spiros③ if spiro.drawingComplete: nComplete += 1 # restart if all spiros are complete④ if nComplete == len(self.spiros): self.restart() # call the timer⑤ turtle.ontimer(self.update, self.deltaT) update()方法使用一个计数器nComplete来记录已画的Spiro对象的数目。在①行初始化后,它遍历Spiro对象的列表,在②行更新它们,如果一个Spiro完成,就在③行将计数器加1。 在循环外的④行,检查计数器,看看是否所有对象都已画完。如果已画完,调用restart()方法重新开始新的螺线动画。在⑤行restart()的末尾,调用计时器方法,它在DeltaT毫秒后再次调用update()。 显示或隐藏光标最后,使用下面的方法来打开或关闭海龟光标。这可以让绘图更快。 # toggle turtle cursor on and off def toggleTurtles(self): for spiro in self.spiros: if spiro.t.isvisible(): spiro.t.hideturtle() else: spiro.t.showturtle() 保存曲线使用saveDrawing()方法,将绘制保存为PNG图像文件。 # save drawings as PNG files def saveDrawing(): # hide the turtle cursor① turtle.hideturtle() # generate unique filenames② dateStr = (datetime.now()).strftime('%d%b%Y-%H%M%S') fileName = 'spiro-' + dateStr print('saving drawing to %s.eps/png' % fileName) # get the tkinter canvas③ canvas = turtle.getcanvas() # save the drawing as a postscipt image④ canvas.postscript(file = fileName + '.eps') # use the Pillow module to convert the postscript image file to PNG⑤ img = Image.open(fileName + '.eps')⑥ img.save(fileName + '.png', 'png') # show the turtle cursor⑦ turtle.showturtle() 在①行,隐藏海龟光标,这样就不会在最后的图形中看到它。然后,在②行,使用datetime(),利用当前时间和日期(以“日—月—年—时—分—秒”的格式),以生成图像文件的唯一名称。将这个字符串加在spiro-后面,生成文件名。 turtle程序采用tkinter创建的用户界面(UI)窗口,在③和④行,利用tkinter的canvas对象,将窗口保存为嵌入式PostScript(EPS)文件格式。由于EPS是矢量格式,你可以用高分辨率打印它,但PNG用途更广,所以在⑤行用Pillow打开EPS文件,并在⑥行将它保存为PNG文件。最后,在⑦行,取消隐藏海龟光标。 解析命令行参数和初始化像第1章中一样,在main()方法中用argparse来解析传入程序的命令行选项。 ① parser = argparse.ArgumentParser(description=descStr) # add expected arguments② parser.add_argument('--sparams', nargs=3, dest='sparams', required=False, help='The three arguments in sparams: R, r, l.') # parse args③ args = parser.parse_args() 在①行,创建参数解析器对象,在②行,向解析器添加--sparams可选参数。在③行,调用函数进行实际的解析。 接下来,代码设置了一些turtle参数。 # set the width of the drawing window to 80 percent of the screen width① turtle.setup(width=0.8) # set the cursor shape to turtle② turtle.shape('turtle') # set the title to Spirographs!③ turtle.title('Spirographs!') # add the key handler to save our drawings④ turtle.onkey(saveDrawing, 's') # start listening⑤ turtle.listen() # hide the main turtle cursor⑥ turtle.hideturtle() 在①行,用setup()将绘图窗口的宽度设置为80%的屏幕宽度(你也可以给setup指定高度和原点参数)。在②行,设置光标形状为海龟,在③行,设置程序窗口的标题为Spirographs!,在④行,利用onkey()和saveDrawing,在按下S时保存图画。然后,在⑤行,调用listen()让窗口监听用户事件。最后,在⑥行,隐藏海龟光标。 命令行参数解析后,代码的其余部分进行如下: # check for any arguments sent to --sparams and draw the Spirograph① if args.sparams:② params = [float(x) for x in args.sparams] # draw the Spirograph with the given parameters col = (0.0, 0.0, 0.0)③ spiro = Spiro(0, 0, col, *params)④ spiro.draw() else: # create the animator object⑤ spiroAnim = SpiroAnimator(4) # add a key handler to toggle the turtle cursor⑥ turtle.onkey(spiroAnim.toggleTurtles, 't') # add a key handler to restart the animation⑦ turtle.onkey(spiroAnim.restart, 'space') # start the turtle main loop⑧ turtle.mainloop() 在①行,首先检查是否有参数赋给--sparams。如果有,就从字符串中提取它们,用“列表解析”将它们转换成浮点数②(列表解析是一种Python结构,让你以紧凑而强大的方式创建一个列表,例如,a = [2*x for x in range(1, 5)]创建前4个偶数的列表)。 在③行,利用任何提取的参数来构造Spiro对象(利用Python的*运算符,它将列表转换为参数)。然后,在④行,调用draw(),绘制螺线。 现在,如果命令行上没有指定参数,就进入随机模式。在⑤行,创建一个SpiroAnimator对象,向它传入参数4,告诉它创建4幅图画。在⑥行,利用onkey()来捕捉按键T,这样就可以用它来切换海龟光标(toggleTurtles),在⑦行,处理空格键(space),这样就可以用它在任何时候重新启动动画。最后,在⑧行,调用mainloop()告诉tkinter窗口保持打开,监听事件。 完整代码可以从公众号pythondada输入万花尺索取完成代码。 |
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