高中数学：椭圆相关角度的最值问题

圆锥曲线中的最值问题主要包括长度最值、角度最值及面积最值等。

 

例题：如图1，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线与x轴的交点为M，。

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线，P为上的动点，使最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）。

图1

解：（1）设椭圆方程为

半焦距为c，则 

由题意，得 

解得 

故椭圆方程为 

（2）设

当时，

当时，

所以只需求的最大值即可。

直线的斜率

直线的斜率

所以 

当且仅当时，最大。

所以最大值点Q的坐标为

显然，第二问是考查和椭圆有关的角度最值问题，可联想椭圆中的两种特殊情况。

特殊情况

（1）已知椭圆的两个焦点分别为，点P为左准线上任意一点，求的最大值。

图2

解：如图2，设准线交x轴于点M

则

又

所以（其中）

于是 

（当且仅当时等号成立）

故的最大值为

此时点P的坐标为

同理，当点P在右准线时的最大值不变，最小值均为0

另外由可得，当椭圆的离心率e一定时，的最大值为定值；若给出的值时，可由求出椭圆的离心率e的范围。

（2）已知椭圆的两个顶点分别为，点P为左准线上任意一点，求的最大值。

图3

可用与问题（1）类似的方法求解（如图3）：

（当且仅当时等号成立。）

证明过程请自己完成。

推广及本质

两种特殊情况分别研究了椭圆准线上任意一点P到两焦点、两顶点所得张角的最值问题，而例题是将准线推广到非准线位置，通过问题（1）的解决方法不难看出这类问题其实就是一个平面几何中的最值问题，如图4，A、B是直线同侧两定点，且直线，点P为直线上一动点，则∠APB有最大值。使∠APB最大的点P有何几何意义呢？由于点A、B是定点，为定直线，我们不妨利用几何画板研究过三点A、B、P的圆，当点P在直线上运动时，过三点A、B、P的圆O与直线的关系是相交或相切，当圆O与直线相交时，（如图5），上总存在点Q在圆内且使∠AQB＞∠APB；当且仅当圆O与直线相切时（如图6），直线上除切点外，其余点均在圆O外，由同弧上的圆周角与圆外角的大小关系可知，此时∠APB最大，切点即为所求。

能否将条件一般化呢？如果直线与直线AB不垂直呢？

用同样的方法可得，当过三点A、B、P的圆与直线相切时，∠APB的值最大（如图7），切点为所求的最大值点，我们可以根据解析几何中直线与圆的位置关系，求出相应的切点坐标以及∠APB的最大值。

图7

于是有：

结论：过定直线上任意一点P，与直线同侧两个定点A、B所得张角的范围是，其中θ为过三点A、B、P的圆和定直线的切点处的张角。

当A、B两点在直线的异侧时，∠APB的最大值为，无最小值。

根据所得结论，我们不难得出上述例题的简捷解法：

另解：设所求点Q的坐标为

因为y轴垂直平分

所以过三点P、的圆的圆心必在y轴上

由平面几何知识得：当且仅当圆与直线相切时，最大，切点即为所求点Q。

因为轴

所以此时圆心坐标为

由同圆的半径相等可得：

所以

故当时，最大，所求最大值点Q的坐标为

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