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我是谁？我从哪里来？我将到哪里去？ 很多人把这三个问题称为哲学终极三大问题，而在数学界以及数学教育界也同样有着困扰众人的三大终极问题：数学到底是什么？该如何学习或进行研究？作为一名老师要怎么做才能教好它？ 被誉为中国数学教育三座学术高峰之一的徐利治教授在《谈数学哲学》一书中提到这样一件事，在清华大学教书的时候有学生和同事问过他如下几个问题：数学对象是从脑子里想出来的，还是客观上早已存在的？利用逻辑证明得到的定理结论是否就是现实世界的真理？数学的产生和发展以及数学创作、教与学活动有无必然的一般规律？这些问题在当时让他感到无比困惑，而这些问题也就是上述三大问题本体论、认识论和方法论的细分， 想要解决这些问题，就必须先了解数学的本质到底是什么？因为每一位数学教师只有恰当理解了这一问题后才能教好这门课，每一位高中生或数学专业的学生只要对本质理解深透就能极大的提高他学习数学和欣赏数学的能力，每一位科学工作者因为他的研究课题相当大地受数学的影响，因此他也必须明白为何数学在科学和技术领域竟有如此'异乎寻常'的影响，毫不夸张地说，几乎世界上的每一个人都应该对数学本质问题感兴趣和有所了解， 对数学本质有两种讨论或了解方法，一种是可以由一位作者著述他关于数学本质的观点，但这对于无论哪个人来说都显然是过于繁重的任务，并且这种讨论不可避免地受到作者感兴趣的某些数学领域的局限，另一种方法是找人通读文献，选编各个时期的大数学家们关于数学本质的言谈录，虽然这样收集到的材料显然不够完备，但能够很好地代表这一主题上的各种见解和具有指导意义，因此小数君整理和收集了100位各个时期里最伟大的数学家或科学家们关于数学本质的言论，涉及到数学的抽象与应用，数学中的直觉和想象，数学模型，公理化，推广，证明，数学中的动机，数学和美学、艺术、科学、技术和应用数学，数学家和数学才能、数学的各种特征、教学等一系列问题， 这些言论适合各种数学水平的教师、学生、学生家长、科技工作者阅读，可以给课内、外的讨论和数学俱乐部的聚会提供有价值的题材，也能给学生们提供辩论的要点，或许这些言论也能够让年青一代在数学上拥有更大的创造性，也或许可以让每个人对数学及其应用本质有更清晰的理解， 而数学该如何学，又要怎么教，相信看完这些言论你或许会找到属于自己的答案！ （-5） 数学的教学质量是几个变量的函数，即T=（S，B，C，M，R，E...）其中S是教学要点的恰当性，B是选作阅读用的书籍，C是教员的能力，M是教学方法，R是学生的接受能力，E是考试制度等等，为了全面地改进T，必须恰当地改进T所依赖的所有要素. — A.C Banerjee （-3） 有些教师试图用记忆规则和发展机械程式的方法讲授数学，他们是拙劣的教员，这种教学方法也是不值得提倡的，无论谁，他如果只学习处方而没有真正弄懂他所学的东西，那他就不能正确地使用这些处方. — A.Renyi （-2） 尽管数学极为重要，极富成就，尽管它迷住许多初学者，尽管它对科学与现代文明的发展作出了贡献，但是数学在普通人心目中仍然是枯燥的和困难的，在学校的书本中，数学好像是一系列明显地缺乏意义的程序，有时带有一些'低档技巧'或者一些窍门，聪明的学生自然对这些产生反感，这种教学后果是使学生们感到乏味因而忽视了这门课，这种情况很普遍，致使对数学的不顾不问变成一种社会态度，但过去可不总是这样的，那些最早期的哲学家们都是拒绝研究任何不精通数学的人的铭言的. — Y.B Chavan （-1） 必须在严格形式和习惯语形式方面将学生们引向数学语言，他应该学会清晰地解释一些基本的概念、陈述和记号，他应该拥有选择的数学技巧发展之间的敏捷，应该知道一部分基本定理的证明并得到构造证明方面的经验，他应该懂得抽象和公理化方法的效力，他应该了解数学的可应用性，以及在数学与其他领域之间的建树的相互作用，他应该开始阅读数学文献，理解它们，并以此为乐趣，他应该学会从例证和经验中培养好奇心和实验习惯，学会比直接目标看得更远，提出和验证假设，总之，学生必须在数学方面开始成熟，而且开始获取数学信息. — CUPM panel （0） 有很多方法帮助学生在数学方面成熟，可以把他编入为高材生开设的专门的'优等生班'，可以在开始阶段给他布置课内阅读作业，后期再布置学术杂志中较难论文的阅读作业，可以通过'文献阅读课'教授学生，他可以在讨论班或讨论会上做报告，他可以准备一份对他来说是独创性的大学生论文，尽管这不是更高意义上的独创性，还可以为学生开设'开发性课程'，由教授指导他发展一批数学题材，一般地，每一种大学课程表中都应该包括发展学生在数学方面的自立、首创和自信精神的工作. — CUPM panel （1） 学习任何数学主题的第一步是发展直觉. — C.B.Allendoerfer （2） 数学教学也需要更好地与工业与研究中的现代应用相结合，实际上这些应用应该常常用来作为讲授这门课的媒介，如果认为这些应用仅仅是辅助性的解释，是肉已烧好后加上的酱油，那就是误解了它们在教学中的作用，但是主要之点不在于这些题材中的可应用性，而是从学生那里唤起对数学的响应. — T.J.Fletcher （3） 和把数学看作一门学科相比，我几乎更喜欢把它看作一门艺术，那是因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）所表现出的经久创造性活动，具有和艺术家的，例如画家的活动相似之处，这是真实的而并非臆造的，数学家严格的演绎推理在这里可以比作专门性技巧，就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样，不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家，这些品质是很基本的，但它们还不足以使一个人称得上是画家或数学家，实际上它们也不是对应情况下的主要因素，其它一些要微妙得多的品质才构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家的素质，其中最主要的一条在两种情况下都是想象力. — M.Bocher （π） 虽然搞研究和发现数学的新应用也许是进行数学工作最有趣的方式，但还有其它方法保持数学的严密性，这包括通过阅读数学文章保持对数学中新发展的了解，参加讨论班，参与发展新的教学计划和数学技巧，解数学迷棋和问题以及培训数学教师，最有效率的数学教师应该是这种人：他们订阅数学杂志，参加数学活动，读书，考虑，深思，计划，又突然加速前进，能够设计并讲授一门他们从未教过的、更好的课程，现在是做一位数学家和一位教师的好日子，事情是动人的，既有兴奋也有争议. — R.H.Bing （4） 尽管旁观数学比从事数学要容易得多，但那是一项最无收益的吸引观众的运动. — C.G.Gullin （5） 的确有着一条关于数学成就的无可争议的准则，那就是数学研究结果在科学和技术中的直接可应用性，在得出正面结论时，即有一项工作满足这项准则时，这条准则是绝对可靠的，但是人们都知道这不是唯一的准则，我们都知道许多深刻的数学定理的例子，它们在刚刚出现时都是远离任何可能的应用的（非欧几何、伽罗华群论，理想论、超限数等等）. — P.S.Aleksendrov
今天，拓扑的天使和抽象代数的精灵为每一个数学领域的灵魂而斗争. — H.Weyl （7） 数学的连续性常常受到了各种威胁，但又总是保持了下来，如果我们希望正确地观察当代的数学运动，我们就必须牢记这种连续性，以连续性为依据的证明就像以内在美或效用为依据的证明一样重要. — L.Felix
我希望能找到一种方法说服青年人，告诉他们不应该留在极其抽象的'安全'领域内，而应该试着在应用方面做一些事. — R.Courant （9） 数学证明并不是已经完成的数学结构的一部分，但它们是数学研究中的一环，最好的数学证明通常是简短的，直接的和深刻的，这种证明中的'实际上'有时带有恩赐般微笑的柔和，有时带有机智讽刺般的敏捷，有时带有直截了当的、诙谐轶事般的出其不意，一个长篇证明可能缺少简短证明的那种直接性，但它常常用摇摆、起伏和音乐般的韵律来弥补这一点，它甚至可以具有和音乐作品同一的结构，这里是一串随便的、看上去无关的思想的开端，他们达到某点后就被丢开，而另一条逻辑证明路线开始，然后还可能有第三条又同样地开始了，这就好像一个音乐主题发展到一定程度之后就放弃了，而另一个看上去无关的主题又开始了，然后分立的逻辑证明路线和音乐注意开始互相靠近、混合、盘绕，然后它们紧紧地交织在一起，最后爆发出胜利完成的结束曲. — N.A.Court （10） 数学所处理的结构就好象是一棵树的叶子，好像是一片草地或一个人脸上的明暗变幻. — Scott Buchanan
讲授数学的方法是很不完美的，我把这看作是对我们所从事的职业的责备，指出了我们还没有发明出教这门课的文明方法，乘法表的背诵，复杂开方口诀的记忆，厌烦的解三角形问题如此等等，全都与数学的理解毫不相干，我认为这些是学校中数学的虐待成份，是能够并且应该废除的. — E.M.Llyod （12） 不要问数学能为别的科学做什么，要问一问别的科学能为数学做什么. — S.Ulam （13） 在一门数学学科远离其经验之源而发展时，存在着一种危险，即这门学科会沿着一些最省力的方向发展并分为为数众多而又无意义的支流，唯一的解决办法是使其回到其源，返老还童. — John Von Neumann （14） 无论一位数学专业学生的最终兴趣和职业是什么，他都应该懂些数学是如何被应用的，懂些有关数学和各门科学间的复杂交互作用，许多从事纯研究的数学家很少与其他科学接触，他们倾向于主要把他们的学科看作是自给自足的，自行繁衍的，可以从内部提出问题的，仅仅是偶尔地获得外界刺激的，另外一些更直接地与邻近学科打交道的数学家可能很难同意这种看法，他们可能实际上十分强调物理科学对数学概念和思想所起的源泉的作用. — R.C.Buck与E.F.Buck （15） 一个未经解释的符号化表达仅仅是个记号游戏，只有当它有了含义，只有当有人使用了这些符号和符号游戏的解释，它才是一门语言，不能把直觉的作用降到次要的地位. — Jorgensen （16） 数学是要做的而不是拿来看的，我们必须留心数学明日会是什么，以及它对它的今日有什么不满足之处，数学的渗透力不仅具有广度，而且具有深度，科学和技术的巨大发展主要地是由于数学的现代发展，是由于数学在物理学、生物学以及社会科学中的纵深渗透. — R.S.Varma
数学为其证明所具有的逻辑性而骄傲，也有资格为之骄傲，但是这些证明并不是数学学说的必要组成部分，它们是数学家用以得到其结果的工具，是数学家为了俯瞰他们所要眺望、凝视和观赏的领域而骑上的火箭. （18） 创造一个有活力的数学模型是一项需要了不起的技能和判断力的迷人工作，必须在过细的描述与过于简化的描述之间做出合理的权衡，过细就会造成一组无法解决的数学问题，过简则可能掩盖有兴趣的细节，至使无法发现所要寻求的最优预报，一个在这种意义上合理地接近所考虑的过程的模型可以用来设计、预言和发现最优工作条件，使得所花代价最小，效率最大等等. — E.M.Llyod （19） 数学通常被认为是与诗歌绝对相反的，但是数学与诗歌同属一个宗族，因为他们都是想象的产品. — Thomsa Hill （20） 有成效的数学家和最好的学生并不全神贯注于严格性，而是着眼于实质概念. — L.Bers （21） 数学仅仅是空洞的思想游戏吗？如果它仅仅给了物理学家一种方便的语言，难道这不会是一种平庸的，或者严格地说是一种用不着的帮助吗？甚至可以问，难道不该担心这种人造语言会是设置在现实与物理学家的眼睛之间的幕帐吗？事情远非如此，如果没有这种语言，大多数的事物内在的相似性将会永远是未知的，我们对于世界的内部和谐也会永远地无知，然而正是这种和谐才是唯一真正的客观现实. — Henri poincare （22） 数学教学计划的拟定者不应该以牺牲数学动机和具体内容的教学来强调抽象与优美之处. （23） 另一个广为流传的误解是认为数学包含有命题，有那么多不连贯的语句，有那么多小小的鸽子窝，但是对于已经入门的人，数学就像一幅美丽的风景画那样连贯，那样延续，命题是被选出来作为定位点的，作为特别引人入胜的观光之处，作为可以眺望意外的而又悦目的风光的高地，但是，就象乡野的平地没有构成全部风景一样，命题至多也未构成全部数学.
（24） 数学被认为是单调乏味的学科，但如今已经越来越被人们承认为在科学发展中具有高度重要性的学科，实际上，数学研究极大地开阔了人类思想的地平线，并且在某种程度上帮助人们理解自然界和物理世界，今天，它是表达严格的科学思想的媒介. — Jawahar Lal Nehru （25） 认真地讲，数学可能是个玩笑，开玩笑地讲，数学可能是认真的. （26） 数学的普遍性看来是它在各个文化因素中最显著的特征，但是有些数学还具有明显的民族特征，长期以来人们认为法国数学偏爱函数论，英国数学对应用感兴趣，德国着重数学基础，意大利感兴趣于几何，而美国的数学则以其抽象特征著称，然而，尽管有这些由于文化影响造成的差异，数学在今日还是可以看作具有绝大多数其它人类活动所没有的普遍性. — R.L.Wilder
逻辑和数学之不同就像孩子和大人一样，逻辑是数学的初期而数学是逻辑的成年期. — Bertrand Russel （28） 数学受到过农业、商业和制造业的影响，受到过战争、工程和哲学的影响，受到过物理学和天文学的影响，流体动力学对函数论的影响，康德哲学和测量学对几何学的影响，电磁学对微分方程的影响，笛卡尔哲学对力学的影响和经院哲学对微积分的影响，只有把所有这些决定性因素都考虑到，才能理解数学这门课和数学的内容. — D.J.Struik
搞数论的人可以和贪图安乐的人相比，它是十分吸引人的，一旦你试过它，其它的数学活动可能会显得有些乏味. — D.Hilbert
即使数学家在选择问题、舍弃问题或者转向其他问题时，实质上是不受约束的，然而理论物理中的一个重要问题通常是'必须'解决的争论和矛盾，一位数学家有许多他可以从事研究的领域，在这些领域里他享受相当大的自由度，我认为，正确地说，他选择领域和课题的原则以及成功的准则主要地是审美学的. — J.Von Neumann （31） 一位应用数学家必须是一个数学家，而要做一个数学家，他就必须时时回到数学环境中去恢复精神，他必须回到本源，同时，他要做一个应用数学家，就必须停止做数学家而做科学家. — J.B.Rosser
我希望我已经证明了，数学既不必是严峻的，也未必是遥远的，它既和几乎所有的人类活动有关，又对每个真心感兴趣的人有益. （35） 现代数学带着两个急迫要求出现于科学中，一方面，它渴望在所有的方面冒险，无畏地甚至是着急地走到前面去为一些领域做准备，使得这些领域中的研究者能够专心于物理学的需要，或甚至专心于其个人好奇心的需要，另一方面，数学打算重建大厦的支撑，使其基础更加宽广，足以广泛地支持最近的将来所要出现的一切，这种打算所基于的条件是，只要上述事情是可以预期的，并且有人具有足够的勇气去竖起给各种理论以合适位置的新结构，最后，数学又从旁监督这个结构的建立，甚至硬说它有权对其整体的牢固性做出评价. — L.Felix （36） 有可能在相对短的时间里向优秀的数学专业学生有效地讲授现代物理学的任何分支，因为这些学生在数学方面是成熟的. — E.W.Montroll （37） 纯数学家提供了一个知识宝库，而应用数学家利用这个宝库，重要的是要使这个宝库永不耗尽，在今日的数学家生产新数学的速率之下，我们除去宝库的大小不适宜之外不必担心它会被耗尽. — H.Montague and M.Montogomory （38） 按照希尔伯特的想象，数学就象一块多面晶体，每个面既有它自己的来源，也有天才而严肃的学者提出潜在的前景，我认为不存在适用于数学真理的所有侧面的唯一客观价值标准，只有数学自身和历史才能做出评价，数学的只有度就在于此，并且仅在于此，这一点早就被G.康托看到了. — P.S.Aleksendrov （39） 每一个孩子都有可能成为科学家，但不是每一个孩子都有可能成为数学家. — Chaeles Snow （40） 数学并不从课本中已完成的定理出发，而是始于丰富而又变化的环境，在得到初步结果之前有一个发现，创造，犯错误，丢弃和承认的阶段. （41） 数学家更倾向于重技巧而不是重思想，这和重大科学研究成就中的基本优先次序不同，许多科学家是富于想象的，机敏的，但在使用数学工具上常常是笨拙的，此外他们的数学论述常常包含逻辑错误，但这些缺陷不会怎样影响科学，在实验科学和理论科学中都不像数学那样正统，错误的出现和改正错误的过程是科学中有活力的文献的组成部分，并且在发现有价值的结果中起了本质的作用. — S.Karlin （42） 所有对教育感兴趣的人应该掌握的是如下事实：我们关于数学本质的概念已经改善了，我们关于这门学科的技术性知识被大大地改进了，并且，为了科学技术进步，我们对它的依赖大大地增加了. — M.H.Stone （43） 创造性是数学的心脏和灵魂，创造性发生在优秀教师的初等课堂上，在任何把数学应用于其他领域的场合都展示出创造性，它在每门大学数学课程中都应该表现出来，好奇心当然是数学的要旨，许多数学研究是在数学家之间的讨论中涌出的. （45） 在对日益增大的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象是必不可少的工作，但是抽象不应用被用来把数学和其来源隔断. — I.Kaplansky
二十世纪数学的一个令人惊异的特征是它对抽象方法力量的承认，这已经引出了大量的新结果、新课题，事实上这已经引导我们开辟了以前从未被提出的一些全新的数学领域，随着这些发展而来的不仅是崭新的数学，而且是其生气勃勃的前景，以及对那些困难的古典结果所给出的简洁而新颖的证明，把一个问题分离为一些基本的本质部分，这就为我们揭示了它在整个事物结构中的环境，它向我们显示了以往被认为是无关的若干领域之间的联系. — I.N. Hernstein （47） 数学科学和所有其他活生生的事物一样有其自然的生长规律. — C.N.Mooer （50） 和任何其它的文化因素一样，数学依靠传播与演变而成长，无论是在个体的头脑中还是在一组人的头脑中给定了一组并列的思想，都会发生综合并出现新的概念，如同Spengler所说的：'一个由历史必然所提出的任务，无论有无某个个人都将会完成'，数学并不是因为一定时期偶尔地诞生了一个牛顿，一个黎曼或者一个高斯才成长的，相反地，伟大的数学家被包括数学成份在内的文化条件所造就，这种条件导致了他们的成长，如同在产生维尔斯特拉斯和克罗尼克的时代一样，在希腊时代也诞生了潜在的伟大分析家和伟大代数学家，但是除其他条件不同外，在希腊文化中还缺少必要的分析与代数要素，这并不是贬低伟大人物的伟大之处，而是要哀悼那些在过去以及在现代失去了施展其才能机会的人们，我们当然会同意若无'创造天才'就不能发展数学，我们还要坚持说，天才不能在智慧的真空中工作，而且若无合适的智力刺激，他的'才能'将永不为人所知. （51）
— G.T.Kneebone （52） 数学作为理想的命题总体而存在，而数学家工作的目的就是发现这些命题并用它们形成理论，这些理论付印成书时，就是数学. — Logistic Thessis （53） 试图给数学下定义所遇到的困难看来主要来自于这样的假设，即认为数学就其本质而言是绝对的、不随时间和地点而改变的事物，因而一旦一位具有能够识破和刻划这一本质的慧眼的天才诞生于人世之后，它就能够被鉴定了，既然数学不是上述这种事物（尽管外行人还会在未来的世界中相信它是这种事物），任何刻划它的企图肯定只能失败. （56） 数学家必须冒着失败的危险，事实上在大多数时间里，他发现经过数周或数月的不停寻求之后，什么结果也没有，什么思想也没得到，精力也没有了，由于他至少把一些时间完全用掉了，这就极其近乎完全失败，这当然严重地影响了他对所有其他事物的看法，我相信，冒着完全失败的危险以及几乎注定要输掉的危险，这构成了第一位的心理学问题. — D.R.Weidman （57） 甚至最成功的数学家也因不被人欣赏而苦恼，自然他的家庭和朋友们对他成就的意义没有接受能力，甚至比这还要糟糕，其他数学家也不欣赏对这一项看去简单、直接而又琐碎的研究成果中注入的血、汗和泪，数学术语被设计成排除支节事物而集中于基本过程，但是找到结果的方法远远不同于这些基本过程，数学写作不允许对隐于结果只会的劳动作任何注释. — D.R.Weidman （58） 当一个数学分支不再引起除去其专家以外的任何人的兴趣时，这个分支就快要僵死了，只有把它重新栽入生气勃勃的科学土壤之中才能挽救它. — A.Weil （59） 十进计数法的发明恐怕是科学史上最重要的成就. — H.Lebesque （60） 不用借助任何自然现象，理性就能感知一件数学工作的价值，它的美以及它的存在，玄学通常认为自然是独立于人的知觉而存在的，在这种玄学及无法证明的断言的制约之下，一些人发现了很神秘的事，即数学和自然有各种关系，或者科学已经影响了数学的发展. — R.D.Toupin （61） 数学家必须有能力涉及一系列问题，要搞数学，你就得把整个身心放进去，从各个方面学习它，夜以继日地摆弄它，并把点点滴滴的精力都用于理解它，你能够有，也许应该允许你有偶尔的休息，但这种竭尽心力的状态总是要延续一段时间的，往往是连续几天或几周. （62） 简而言之，我们相信数学注定会生存吸取，这座壮丽大厦的主要部分永远不会因为一个矛盾的突然出现而坍塌，但我们只能说这种信念是基于经验的. — N.Bourbaki （63） 大多数学生将不是从事研究的数学家，大多数不会到达前沿，但他们能更多地欣赏数学，如果他们知道前沿就在那里，知道它（指前沿）不是不可达到的，对它偶一瞥见并认识到它正在被接近了，有时是平稳的，但常常是一阵阵的. （64） 学习数学思维模式就像学习数学事实那样重要. — D.R.Weidman （65） 就此而论，在数学中或者在其他任何方面都没有靠演绎逻辑获得发现，发现产生于有创造性的想象，这种想象有时靠类别，有时靠审美思想，但它根本不是成立于牢固的逻辑基础上，一旦得到了发现，逻辑便介入并进行控制，正是逻辑决定这发现是真理还是错觉，因而逻辑的作用尽管极重要却还是第二位的，但是从严格的观点来看，一个证明若没有完成，它就不存在. — H.Lebesque （66） 哈代在1920年说过：'数学研究即使是无益的，也是完全无害的和清白的职业'，从那时以来我就已经明白了，献身于一个无害的职业并不是小成就，也不是所有当代数学家都能够自称取得的成就. — E.M.Llyod （67） 我们感到有可能和比我们水平高许多的数学接触，这种数学的力量与美尽管只能简单地一瞥，也构成了丰富我们的思想的基础，并在我们作为数学使用者和数学教师的朴素活动中给了我们长期反省的机会. （68） 数学之所以能够以令人吃惊的程度深入到科学和技术的每一个分支中去，其原因在于数学的思想是纯粹抽象的，而抽象化正是科学和技术的主要动力，数学越是远离现实（即走向抽象），它就越靠近现实，因为不管它显得多么抽象的，它归根到底还是从某些现实范围中抽象出来的，一定的本质特征的具体体现. — Jagjit Singh （71） 应用数学专业的学生应该主要接受基于纯数学的训练，我相信，只有在对数学结构与过程深刻理解并且真正地和其他学科接触之后，一个人才能在应用数学中做出好的工作. — S.Karlin （72） 最令人兴奋的时刻不在什么东西被证明之日，而在一个新的概念被引伸出来之时. — I.Kaplansky
在一位数学家试图证明某些事以前，他必须猜想那些内容，在他的证明成功之前，他必须已经决定了证明的模式，这通常是从熟悉的手段中选出片段并把他们组合在一起的，通常他在想做证明之前需要预感，而为做出证明又需要窍门. — E.J.Macshane （75） 数学力量的来源之一是，研究上的合作习惯在近期得到发展，这种习惯是在能动地分享思想和举行研究讨论班中养成的. —S.Mac Lane （76） 数学教师不仅要传授事实与理解，还要讲出数学魅力和挑战的闪光，他应该引导他的好学生观看数学之美，给他们尝到支配着数学家兴趣的那种数学型的滋味，启发学生的想象力，并使他们愿意从事和渴望从事长期的艰苦工作，以获得对其具有挑战味道的结果. （77） 对许多人来说，战争极大地刺激他们致力于发展数学和技术、科学之间的相互作用，我希望将来在没有战争时，那在知识界与工程界，在社会科学，在经济学，在生物学等方面处处皆有巨大挑战能够被清楚地理解，能够对成长着的年轻一代具有说服力，也能够形成对数学家的挑战. — R.Courant （78） 数学是有活力的和不断增长的，数学是一门艺术，因为它创造了显示人类精神纯思想的形式和模式，它已经成为了最伟大的人的属性之一，因为它是一个表达、解释和交流人的全部行为的方法，在具有清晰的、严格的和逻辑的结构方面，它仍然是科学的王后，这样，当研究者在其他科学领域探索发现我们宇宙的物理的、生物的和社会的现象时，数学成为完善这些学科的理想和目标. — H.F.Fehr （79） 在今日科学与数学中，除去需要少数天才人物以外，还需要比以往任何时候都多的一群有能力的人，他们应能够通过碎小的步子推动大量思想和材料的不断增长. — S.Ulam （80） 我相信，科学家和工程师在面向数学概念和技巧时有一个极限点，超过这一点就有害于他的态度，特别有害于他的创造性，一个过于数学化的科学家和工程师很可能过于全神贯注于严格性而远离那些并不参与数学的问题领域. — L.A.Zadeh （81） 日益明确和迫切的问题是，数学教学应该安排得使学生尽量正确地并且尽量早地接触更新的概念，经典数学贯于以不寻常的技巧和机智研究孤立的、单一的模型，在这种研究中，它发展了几种本身很好的技术，但是在其任一结果中，很难分清多少应该归于符合模型的模式，而又有多少是归于情况的特殊性，与此事实相反，在现代数学中我们从特殊情况中提取抽象结构和模式，并研究这些结构，这种研究的优点在于，如此得到的知识不仅能应用于我们从其出发的特殊的数系，而且也能应用于所有表现出同一模式的其他系统，不能对具有同一模式的不同领域间的可连结性的优美和兴奋之处过分强调，对于结构的研究除了把看上去孤立的、无联系的领域统一起来，还导致思维的很大的经济化. —— U.G.G.Mathematics Reforms Committee （82） 如果一个人对数学至少贡献了已为他人所使用的一个思想、理论或过程，那他就可以被看作是一位数学家. （85） 数学形式的美丽之处甚至超过了（全直径的）满月的圆轮，因为它在被学识渊博者品尝时，其形式上甚至会增加，这不同于月亮，后者在被天神们品尝时，其形式上是减少的，这门数学科学还具有极不相同的两翼或两测（如初等除法中的方程），这也不同于月亮，后者很难在第一天就见到一个月的两半，在天、人、地之间的动与不动的万物中，哪一样没有数学的帮助也不能理解. — Indian Scriptures （86） 数学思想超越时代与地域，在社会的、政治的以及经济的条件之外进行，并且寻求衡量永恒的形式，作为社会和经济条件的产物的通常语言不适于这种目的，因而不得不发明了一种为进行抽象思维的符号语言，尽管这种语言是抽象的，但数学为生活的各种哲学提供了新的基础，数学家生活在唯一可被证明为不可非议的世界之象牙塔内，而这种证明依赖的事实是数学家的象牙塔，就像一座灯塔一样照亮了黑暗中的巨大地域，照亮了自然的未被探索的秘密. — K.L.Misra （87） 每个工作的数学家都懂得在一串缺少活力的形式化命题与一个人对一个数学理论所具有（或试图得到）的'感觉'之间的差别，并且大概会同意帮助学生看到'内部'景色是数学教学的最终目标. — J.Dieudonne （88） 由于数学推理之美，自然暴露了它自己的偏爱，这在根本上不是偶然的. — C.N.Yang （90） 下述各点可以作为数学训练之目标：（I）提出对数学与现实相互作用的理解（II）转达这样的事实，即数学和每一件其他事物一样，是建筑在直觉理解和公认的传统之上的，而这些都不是固定不变的（III）证实数学是一项人类活动，它的历史性标志有发明，发现，猜想（好的坏的都有），说明其成长的前沿被有趣的未解决问题所覆盖（IV）将'权威人物的论辩'与'通过事实和证明的论辩'相对比，解释'没有证明的'与'反驳了的'之间的区别，以及'构造性'证明与'非构造性'证明的区别（V）说明'为什么'这个问题是重要的，应该多发问，在数学中，仅仅给出详细证明不是总能构成答案的（VI）证明复杂事物有时是简单的，而简单事物有时又是复杂的，并且证明在数学以及在其它领域中，值得对熟悉事物详尽进行研究，以及对看去没希望搞懂的东西进行研究. （93） 在这个世界上没有丑陋数学的容身之地，如果读者看到一个定理的证明显得丑陋，那他的明确责任就是找到一个更好的证明，不美的数学是不允许继续存在的. —C.A.Coulson （95） 数学家十分了解在纯科学和它的规律在生活中的应用之间存在的差别，前者只搞思想，而后者中他们被迫受到事情的不完美性和偶然性的影响. — Karl Pearson （96） 数学概念不是因其概念上的简单性而被选中的，而是因为它们适合于精巧操作和极卓越的论证才被选中的. — E.P.Wigner （97） 初学者解决了一个巧题时得到了快乐，数学家掌握了更先进的问题时也得到了快乐，在这两种快乐之间没有很大的区别，二者都观看美丽动人之处—即支承着所有结构的那种匀称的、定义分明的、神秘的和迷人的秩序. — M.Gardner （98） 向年级幼小的儿童教数学是最容易的，因为他们有着求知的欲望，他们是自信的并按其自身需要理解事物，他们不同于许多成年人，他们的信心未被拙劣的教学动摇过. — W.W.Sawyer （99） 如果一个学生要成为完全合格，多方面武装的科学家，他在其发展初期就必定来到一座大门并且必须通过这座门，在这座大门上用每一种人类语言刻着同样的一句话：'这里使用数学语言'. — Q.Hogg （100） 虚数是上帝精神的神奇飞行，它们几乎是介于存在于不存在之间的两栖类. —G.W.Leibinitz （101） 数学的无穷无尽的诱人之处在于，它的最棘手的悖论也能够盛开出美丽的理论之花. — P.J.Davis （102） 数学家更倾向于重技巧而不是重思想，这和重大科学研究成就中的基本优先次序不同，许多科学家是富于想象的，机敏的，但在使用数学工具上常常是笨拙的，此外他们的数学论述常常包含逻辑错误，但这些缺陷不会怎样影响科学，在实验科学和理论科学中都不像数学那样正统，错误的出现和改正错误的过程是科学中有活力的文献的组成部分，并且在发现有价值的结果中起了本质的作用. — S.Karlin （103） 重要的是让学生看到，问题的负责程度永远也不能用它的公式来实际地度量，任何人很快就知道了，某些非常简单的陈述可能包藏较重要的困难，在解决问题时，应该做那些能够做的，也要花一些时间做些更难解的问题，并且在分析能力不断成熟与增强后，经常地做一些困难问题. — R.Bellman （104） 现代数学与它所扩展的早期是相连贯的，通常，这不是没有冲突的，但是它比以往更加快速地改变着科学的面貌，改变其结果的内容，改变研究对象的选择以及工作的工具，另一方面，数学比以往更密切地接触其它科学，尤其是物理学，因为这两门科学感到了来自共同的灵感的支撑，并肩并肩地走向未来的发展. （105） 数学科学的四个方面，即它的分析功能，它对函数关系的关切，它的抽象本质以及它对变换下不变量的兴趣，全是具有抽象特征的，数学家从其固有的兴趣出发培养了这些方面，它们已转变为有益的成果，可能是因为它们揭示了人类头脑的基本特性，但是他们的应用是属于科学的，包括自然科学与社会科学. — A.Dresdon （106） 使数学成为其学生们的乐事的原因很多，这包括，从一般定理间的相互作用，可以导出没有限制的丰富内容，这些内容的复杂性，推理出发点与导出内容的相隔遥远，大量不同的方法，以及这些方法的纯粹抽象性特征，而正是这个特征作为其赠品又带来了永恒的真理，当然，所有这些特征对学生有着无法估计的价值，多少个时代以来，它们迷住了某些最敏锐、最有才智的学生. — A.N.Whitehaed （107） 数学家如何思维？一个人可能想说，他必定为好奇心驱使，在数学中，能够提出问题甚至比能回答它们更加重要，真正数学家的一个突出特征是，他能从发生于他面前的诸多问题中选择出值得发问的问题，引导他进行选择的那种偏爱，包括对一般性的期望以及对严格性和确切性的追求，真正的准则是，这个问题的研究是否会有丰富的新思想内容，以及是否导致优美数学的诞生，伟大的数学家对这类情况有着一种直觉. — A.H.Read （108） 数学家的本质上是热心人，没有热心就没有数学. ——Novalis （109） 给我五个系数，我将画出一只大象，给我第六个系数，大象将会摇动尾巴. ——A.Report （110） 不应该让学生得到这种印象，即在他的全部数学努力中，严格性将会最终取代直觉性，因为那样将会扼杀他的创造潜力，他应该领悟到，他的思维能够先行，甚至能够有效地提前运用'某些知识'，在创造性的数学中，假设往往先于证明，这是一个历史事实，还不止此，一些猜想例如黎曼猜想它至今未被证明，却已经以重要的方式影响了数学. —— Cambridge Report （111） 我所认识的每一个具有真正才能的青年数学家都已忠实地从事数学，这不是因为他们缺乏雄心，而正是因为他的满怀壮志，他们全都意识到，如果有着任何取得终生成就之路的话，那这条路就是在数学之中. —— G.H.Hardy （112） 每一位数学家在一定时期都会有一个转变，在转变前他可以通过听课、演算例题、参加讨论班和阅读最有效地进行学习，转变后他则通过'做'去取得进一步地发展，后一状态就是数学家个人从事数学研究的状态，在这种研究中，问题的答案一般事先不知，而一项研究的延续周期从数小时到数月，长短不等，经验向我们表明，数学家发生这两状态之间的转变的时间和他取得他第一个学位的时间是非常接近的. — IMA. Report （113） 在伟大的数学中有一种振奋人心的，带有交响乐效果的渐强音，加速的拍子和渐强的音量使得脉搏加快，心情激动，数学也有这种令人振奋的经验. — C.A Coulson （114） 数学构成了人类智力的最壮丽的纪念牌，数学具有极大的广度，且不同于其他科学的是，它从未遭受衰退，每一个数学真理一旦按照严格的证明原则发展，并且只要为真正的数学家所承认，它从此就永为科学之一部分，并且懂得这门学科的人不会给它找毛病. — Thomas Thomson （115） 最后，我们应该同意数学创造是自我们的爬洞生活以来的创造性中最伟大的胜利之一，也是我们过去四百年来所以爬得如此之快的原因之一，也许是主要的原因，不言而喻，数学是我们科学文明的基础，但我还要说，数学有资格作为人类成就的象征和符号，有许多可用于检验社会教育的方法，但其中之一是：这个社会是否培养了许多创造性的数学家，他们是否按照世界标准有其自己的记录，这方然不是唯一的检验，但它是一个起码的、客观的和主要的检验，如果一个社会教育没有达到这个目标，那就是这个社会出了问题或它的教育出了问题，一个社会若不能鼓励，以及这种特别的卓越，长久下去，它就不是一个适当的社会. —C.P. Snow 不言而喻，数学本质是一个十分重要的讨论题目， 也正如小数君所说，它是每一位数学教师，每一位学习数学的学生，每一位受过教育的人，每一位科学（包括社会科学）技术工作者，甚至每一位学生家长都该关心的问题，是世界上几乎每一个人都应该感兴趣的问题，而让人惊喜的是，上述这些关于数学本质的言论的理解是不需要太高深的数学基础，每条言论也都相对独立，甚至有可能在零散的时间选读几条就受益匪浅，上述的各个观点可以选择同意或反对，因为事实上只有评价性地阅读每一条言论并以自己本人的经验来充分地加以阐明，才能得到更有益的效果， 那么哪条言论让你最为赞同？哪条言论又是你所反对的？哪条言论让你受到的启发最大？又是哪条言论让你印象最为深刻？ 下方留言区等着你的数学火花的碰撞！ 这篇耗时众多时间翻译、整理的文章 这篇将近一万五千字的超长干货文章 是否值得你点个在看，收藏和转发呢
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