正多面体

顶点数V，面数F，棱数E

设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半(每两面共用一条棱)，即

nF=2E -------------- ①

同时，E应是顶点数V与m的积的一半，即正多面体

mV=2E -------------- ②

由①、②，得

F=2E/n, V=2E/m,

代入欧拉公式V+F-E=2，

有

2E/m+2E/n-E=2

整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.

由于E是正整数，所以1/E>0。因此

1/m+1/n>1/2 -------------- ③

说明m,n不能同时大于3，否则1/m+1/n<1/2，即正多面体

③不成立。另一方面，因为多边形至少有三边(n≥3)，而在每顶角处也至少有三边(m≥3)。

但n>3，且r>3又是不可能的，因为那样就要有

1/m+1/n<=1/4+1/4=1/2

故m和n中至少有一个等于3

当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5

同理n=3，m也只能是3，4，5

所以有以下几种情况:

n=3，m=3 正四面体

n=4，m= 3 正六面体正多面体

n=3，m=4 正八面体

n=5，m=3 正十二面体

n=3，m=5 正二十面体