中考数学“全等、相似三角形的存在性问题”题型解析

解此类问题，一般分为三个步骤：

第一步寻找分类标准；第二步列方程；第三步解方程并验根 .

难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，

也可以使得列方程和解方程又好又快 .一般情况下，寻找一组相等的角或边，分情况列方程 .

本节主要来讨论下全等三角形和相似三角形的存在性问题 .

类型一：全等三角形存在性问题

【例题1】如图，抛物线 y = ax^2 + c （a ≠ 0）与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于 B , C 两点

（点 C 在 x 轴正半轴上），△ABC 为等腰直角三角形，且面积为 4，现将抛物线沿 BA 方向平移，

平移后的抛物线过点 C 时，与 x 轴的另一交点为 E，其顶点为 F，对称轴与 x 轴的交点为 H .

（1）求 a , c 的值；

（2）连接 OF，试判断 △OEF 是否为等腰三角形，并说明理由；

（3）现将一足够大的三角板的直角顶点 Q 放在射线 AF 或射线 HF 上，一直角边始终过点 E，

另一直角边与 y 轴相交于点 P，是否存在这样的点 Q，使以点 P、Q、E 为顶点的三角形与 △POE 全等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 .

【解题策略】

（1）关键是利用等腰直角三角形的性质及面积，求出关键点坐标，用待定系数法求解；

（2）关键是求得平移后的函数抛物线，证明两边相等即可；

（3）关键是分类讨论分两种情形，而情形一又分两种情形，依据全等三角形性质，

寻找边角相等求解 .

类型二：相似三角形存在性问题

【例题2】如图，已知抛物线 y = ax^2 + 8/5 x + c 与 x 轴交于 A , B 两点，与 y 轴交于点 C，

且 A（2,0），C（0，-4），直线 l : y = -1/2 x - 4 与 x 轴交于点 D，

点 P 是抛物线 y = ax^2 + 8/5 x + c 上的一动点，过点 P 作 PE⊥x 轴，垂足为 E , 交直线 l 于点 F .

（1）试求该抛物线表达式；

（2）如图（1），若点 P 在第三象限，四边形 PCOF 是平行四边形，求 P 点的坐标；

（3）如图（2），过点 P 作 PH⊥y 轴 , 垂足为 H，连接 AC .

① 求证：△ACD 是直角三角形；

② 试问当 P 点横坐标为何值时，使得以点 P , C , H 为顶点的三角形与 △ACD 相似？

【解题策略】

解析本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、

相似三角形的性质 .

依据平行四边形的对边相等列出关于 m 的方程是解析问题（2）的关键；

利用相似三角形的性质列出关于 n 的方程是解析问题（3）的关键 .