【原】中考数学压轴试题复习第一部分专题四因动点产生的平行四边形问题

因动点产生的平行四边形问题

课前导学

我们先思考三个问题：

1．已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？

2．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？

3．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？

图1                     图2                     图3

如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D．

如图2，已知A(0, 3)，B(－2, 0)，C(3, 1)，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？

点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D(5, 4)．

如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等．

关系式x_A＋x_C＝x_B＋x_D和y_A＋y_C＝y_B＋y_D有时候用起来很方便．

我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合．

如图4，点A是抛物线y＝－x²＋2x＋3在x轴上方的一个动点，AB⊥x轴于点B，线段AB交直线y＝x－1于点C，那么

点A的坐标可以表示为(x,－x²＋2x＋3)，

点C的坐标可以表示为(x, x－1)，

线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为

AB＝y_A＝－x²＋2x＋3，

线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标                                        图4

表示为AC＝y_A－y_C＝(－x²＋2x＋3)－(x－1)＝－x²＋x＋2．      

通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离．

例24         2014年湖南省岳阳市中考第24题

如图1，抛物线经过A(1, 0)、B(5, 0)、C三点．设点E(x, y)是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点E(x, y)运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值；

（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14岳阳24”，拖动点E运动，可以体验到，当点E运动到抛物线的顶点时，S最大．当点E运动到OB的垂直平分线上时，四边形OEBF恰好是正方形．

思路点拨

1．平行四边形OEBF的面积等于△OEB面积的2倍．

2．第（3）题探究正方形OEBF，先确定点E在OB的垂直平分线上，再验证EO＝EB．

图文解析

（1）因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(5, 0)两点，设y＝a(x－1)(x－5)．

代入点C，得．解得．

所以抛物线的解析式为．

（2）因为S＝S_{平行四边形OEBF}＝2S_△OBE＝OB·(－y_E)

＝＝＝．

所以当x＝3时，S取得最大值，最大值为．此时点E是抛物线的顶点（如图2）．

（3）如果平行四边形OEBF是正方形，那么点E在OB的垂直平分线上，且EO＝EB．

当x＝时，．此时E．

如图3，设EF与OB交于点D，恰好OB＝2DE．

所以△OEB是等腰直角三角形．所以平行四边形OEBF是正方形．

所以当平行四边形OEBF是正方形时，E、F．

图2                              图3

考点伸展

既然第（3）题正方形OEBF是存在的，命题人为什么不让探究矩形OEBF有几个呢？

如图4，如果平行四边形OEBF为矩形，那么∠OEB＝90°．

根据EH²＝HO·HB，列方程．

或者由DE＝OB＝，根据DE²＝，列方程．

这两个方程整理以后都是一元三次方程4x³－28x²＋53x－20＝0，这个方程对于初中毕业的水平是不好解的．

事实上，这个方程可以因式分解，．

如图3，x＝；如图4，x＝4；如图5，x＝，但此时点E在x轴上方了．

这个方程我们也可以用待定系数法解：

设方程的三个根是、m、n，那么4x³－28x²＋53x－20＝．

根据恒等式对应项的系数相等，得方程组解得

图4                      图5

例25         2014年湖南省益阳市中考第20题

如图1，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝a(x－2)²＋k经过A、B两点，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．

（1）求a，k的值；

（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；

（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A、C、M、N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．】

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14益阳20”，可以体验到，点Q在线段AB的垂直平分线上．还可以体验到，正方形的对角线为AC，有一个顶点恰为抛物线的顶点．

思路点拨

1．第（2）题的等腰三角形只考虑QA＝QB的情形．

2．第（3）题的正方形不可能AC为边，只存在AC为对角线的情形．

图文解析

（1）由y＝－3x＋3，得A(1, 0)，B(0, 3)．

将A(1, 0)、B(0, 3)分别代入y＝a(x－2)²＋k，得

解得a＝1，k＝－1．

（2）如图2，抛物线的对称轴为直线x＝2，设点Q的坐标为(2, m)．

已知A(1, 0)、B(0, 3)，根据QA²＝QB²，列方程1²＋m²＝2²＋(m－3)²．

解得m＝2．所以Q(2, 2)．

（3）点A(1, 0)关于直线x＝2的对称点为C(3, 0)，AC＝2．

如图3，如果AC为正方形的边，那么点M、N都不在抛物线或对称轴上．

如图4，当AC为正方形的对角线时，M、N中恰好有一个点是抛物线的顶点(2,－1) ．

因为对角线AC＝2，所以正方形的边长为．

图2                     图3                      图4

考点伸展

如果把第（3）题中的正方形改为平行四边形，那么符合条件的点M有几个？

①如果AC为对角线，上面的正方形AMCN是符合条件的，M(2,－1)．

②如图5，如果AC为边，那么MN//AC，MN＝AC＝2．所以点M的横坐标为4或0．

此时点M的坐标为(4, 3)或(0, 3)．

第（2）题如果没有限制等腰三角形ABQ的底边，那么符合条件的点Q有几个？

①如图2，当QA＝QB时，Q(2, 2)．

②如图6，当BQ＝BA＝时，以B为圆心，BA为半径的圆与直线x＝2有两个交点．

根据BQ²＝10，列方程2²＋(m－3)²＝10，得．

此时Q或．

③如图7，当AQ＝AB时，以A为圆心，AB为半径的圆与直线x＝2有两个交点，但是点(2,－3)与A、B三点共线，所以Q(2, 3)．

图5                       图6                     图7

例26         2014年湖南省邵阳市中考第25题

准备一张矩形纸片（如图1），按如图2操作：

将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N．

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；

（2）若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．

图1                                   图2

动感体验

请打开几何画板文件名“14邵阳25”，拖动点D可以改变矩形ABCD的形状，可以体验到，当EM与FN在同一条直线上时，四边形BFDE是菱形，此时矩形的直角被三等分．

思路点拨

1．平行四边形的定义和4个判定定理都可以证明四边形BFDE是平行四边形．

2．如果平行四边形BFDE是菱形，那么对角线平分一组对角，或者对角线互相垂直．用这两个性质都可以解答第（2）题．

图文解析

（1）如图3，因为AB//DC，所以∠ABD＝∠CDB．

又因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠3．所以BE//FD．

又因为ED//BF，所以四边形BFDE是平行四边形．

图3                           图4

（2）如图4，如果四边形BFDE是菱形，那么∠1＝∠5．

所以∠1＝∠2＝∠5．

由于∠ABC＝90°，所以∠1＝∠2＝∠5＝30°．

所以BD＝2AB＝4，AE＝．所以ME＝．

所以S_菱形BFDE＝2S_△BDE＝BD·ME＝．

考点伸展

第（1）题的解法，我们用平行四边形的定义作为判定的依据，两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．还可以这样思考：

证明四边形BFDE的两组对边分别相等；

证明ED与BF平行且相等；

证明四边形BFDE的两组对角分别相等．

这三种证法，都要证明三角形全等，而全等的前提，要证明∠1＝∠2＝∠3＝∠4．

这样其实就走了弯路，因为由∠1＝∠3，直接得到BE//FD，根据平行四边形的定义来得快．

能不能根据BD与EF互相平分来证明呢？也是可以的：

如图5，设EF与BD交于点O，根据“角角边”证明△EMO≌△FNO，得到EF与MN互相平分．又因为BM＝DN，于是得到EF与BD互相平分．

图5                            图6

第（2）题的解法，我们用了菱形的性质：对角线平分每组对角，得到30°的角．

我们也可以根据菱形的对角线互相垂直平分来解题：

如图6，如果四边形BFDE是菱形，那么对角线EF⊥BD，此时垂足M、N重合．

因此BD＝2DC．这样就得到了∠5＝30°．

事实上，当四边形BFDE是菱形时，矩形ABCD被分割为6个全等的直角三角形．

由AB＝2，得AD＝．矩形ABCD的面积为．

菱形面积占矩形面积的，所以菱形面积为．