数学系列之线性代数（十）

在之前的章节中，我们重点解释了向量空间中的基、维数以及四个基本向量空间（行向量空间、列向量空间、零向量空间以及左零向量空间），本章节将进入到线性代数下一个重要的知识点——正交性。

什么是正交性？正交性是如何定义的？接下来我们将依次解答这两个问题。

首先我们先从毕达哥拉斯定理（即勾股定理）说起：一个直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，如下如图所示：

我们可以得到（其中|X|表示向量X的模）：

即我们可以看到两个向量正交需满足：

表示为

（PS：零向量与任何向量都正交）

那么我们将其扩展到向量空间里可知：两个向量空间P和Q正交，那么P中的任意向量都垂直于（正交于）Q中的任意向量。

接下来我们回顾一下之前阐述的四个基本子空间：行向量空间、零空间、列向量空间以及左零向量空间，这四个空间是否存在着正交关系了？

首先我们先把最终的关系列出来：

1. 行向量空间与零向量空间正交

2. 列向量空间与左零向量空间正交

接下来，我们简单的进行证明：

给定一个矩阵

各向量空间表示为：

R(A)：A的行向量空间

N(A)：A的零向量空间

C(A)：A的列向量空间

N()：A的左零向量空间

对于矩阵A的零向量空间，有：

即可简单的证明出：

同理可证明出：

接下来我们来探讨下，各向量空间秩的关系（假定矩阵Rank(A)=r）：

1. 

矩阵A行向量及列向量的秩为r，即有r列是线性无关的，即可化简成：

故矩阵A的零向量空间的秩为（n-r）。

2. 

同理可得到矩阵A的左零空间的秩为（m-r）。

从以上分析中，我们可以看出对于矩阵A：

1. 行向量空间与零向量空间同属一个n维空间（r+n-r=n），可看作是某个n维空间被划分为两个子空间：行向量子空间与零向量子空间。

2. 列向量空间与左零向量空间同属一个m维空间（r+m-r=m），可看作是某个m维空间被划分为两个子空间：列向量子空间与左零向量子空间。