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【直线的一般式方程】
在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于 x、y的二元一次方程。 在平面直角坐标系中，任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。 我们把方程：Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式。 斜率-A/B;y轴截距-C/B。 直线的一般式方程是最基础的关于直线的方程公式，也是运用最多的公式。 【一次函数公式和方程】 1、从形式上看：一次函数y=kx+b, 一元一次方程ax+b=0 。 2、从内容上看：一次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解;一元一次方程表示的是未知数x的值，最多只有1个值 。 3、相互关系：一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。 例如：y=4x+8与x轴的交点是(-2，0)、则一元一次方程4x+8=0的根是x=-2。 希望大家熟记的就是这句：一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。 【一元二次方程的解】 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 通过上面对一元二次方程的解知识的学习，希望同学们能很好的掌握上面的知识，相信同学们会学习的很好的。 【一元二次方程的解根与系数的关系】 -b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a X1+X2=-b/aX1*X2=c/a 注：韦达定理 【正比例函数公式应用】 首先通过5个问题，得出5个函数，观察这5个函数，可纳出正比例函数概念。要能判断一个函数是否为正比例函数。然后画出4个正比例函数图象，观察归纳出正比例函数的性质。 根据上面的5个实际问题，我们得到5个函数。下面观察这5个函数的共同点，以便归纳出正比例函数概念。 ①h=2t ;② m=7.8n; ③s=0.5t; ④T=t/3 ;⑤y=200x。 这5个函数有什么共同的特点? 1：都有自变量。 2：都是函数。 3：都有常量。 这5个函数的右边都是常量和自变量的什么形式? 这5个函数都是常量与自变量的乘积形式，都可表达为y=kx(k不等于0)的形式。 下面是4个函数，请判断哪些是正比例函数? ①y=3; ②y=2x; ③y=1/x; ④y=x^2。 解答： ②是正比例函数。因为它符合正比例函数的的定义。①，③，④则不是正比例函数。①：它为常数函数，无自变量。③：它为反比例函数。 ④：它为二次函数。 我们做题时重点就是正比例函数概念及正比例函数的性质理解。 【正比例函数】 R(实数集)、值域、奇偶性、奇函数、单调性 当k>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大(单调递增)，为增函数; 当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小(单调递减)，为减函数。 周期性 不是周期函数。 对称性 无轴对称性，但关于原点中心对称。 图像 正比例函数的图像是经过坐标原点(0，0)和定点(1，k)两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。正比例函数的图像是一条过原点的直线。 正比例函数y=kx(k≠0)，当k的绝对值越大，直线越“陡”;当k的绝对值越小，直线越“平”。 正比例函数求法 设该正比例函数的解析式为 y=kx(k≠0)，将已知点的坐标代入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。 正比例函数是一次函数的特殊形式。是我们常见的考试题型。 【二次函数公式】 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0). (3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2) (4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0. 说明： (1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点. (2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2). 三角函数三角函数正切定理公式大全 【正切定理】 在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商. 法兰西斯·韦达(François Viète)曾在他对三角法研究的第一本著作《应用于三角形的数学法则》中提出正切定理。现代的中学课本已经甚少提及，例如由于中华人民共和国曾经对前苏联和其教育学的批判，在1966年至1977年间曾经将正切定理删除出中学数学教材。 正切定理： (a + b) / (a - b) = tan((α+β)/2) / tan((α-β)/2) 正切定理比余弦定理更容易利用对数来运算投影等问题。 三角函数的符号单调性公式表 符号、单调性
注：1/0表示不存在，+1/0=1/0+=+∞，1/0-=-1/0=-∞，左边的符号是左趋近，右边的符号是右趋近，第一个是符号，第二个是单调性 三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。 初中数学常考的三角函数公式值 在三角函数中，有一些特殊角，例如30°、45°、60°，经常会出现在考试中。
其实这些角的三角函数值为简单单项式，我们可以根据表格直接求出具体的值。 【锐角三角函数定义】 当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。 对于AB与AC的夹角∠BAC而言 对边(opposite)a=BC 斜边(hypotenuse)h=AB 邻边(adjacent)b=AC
【特殊角的函数值】
初中数学单位圆中的三角函数公式 实际上函数一般都依赖于直角三角形，其实六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
其实看过上图大家也都知道了，单位圆提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。 三角函数推导公式大全 初中数学三角函数推导公式的知识学习，同学们认真记录笔记工作。 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 几何【矩形的判定】 1.一个角是直角的平行四边形是矩形 2.对角线相等的平行四边形是矩形 3.有三个内角是直角的四边形是矩形 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【弓形的几何公式】 S=1/2R^2(θ-sinθ) =1/2 [R^2θ-b(R-h)] =1/2(R^2θ-b√(R^2-h^2/4)) ≈2/3bh (θ越小，误差越小) b=2Rsin(θ/2) R=(b^2+4h^2)/8h θ=4arctan(2h/b) h=2Rsin^2(θ/4) =1/2btan(θ/4) =R-R^2cos(θ/2) [R为弓形所在圆的半径，θ为弧所对圆心角，h为矢高(即弓形的高)，b为弦长] 弓形在现实生活中的运用很多，我们平常见到的弓箭就是弓形。 【数学几何形体周长面积体积计算公式】 1、长方形的周长=（长+宽）×2C=(a+b)×2 2、正方形的周长=边长×4C=4a 3、长方形的面积=长×宽S=ab 4、正方形的面积=边长×边长S=a.a=a 5、三角形的面积=底×高÷2S=ah÷2 6、平行四边形的面积=底×高S=ah 7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2S=（a＋b）h÷2 8、直径=半径×2d=2r半径=直径÷2r=d÷2 9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2c=πd=2πr 10、圆的面积=圆周率×半径×半径 【平行四边形定理公式】 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 【正方形基础公理】 ①对角线互相垂直的矩形。 ②有一组邻边相等的矩形是正方形。 ③有一个角是直角的菱形是正方形。 ④对角线相等的菱形。 ⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。 【梯形中位线定理】 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）÷2 S=L×h 圆【点和圆位置关系】 ①P在圆O外，则 PO>r. ②P在圆O上，则 PO=r. ③P在圆O内，则 0≤PO 反之亦然. 【圆和圆位置关系】 ①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。 ②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。 ③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 设两圆的半径分别为R和r，且R>r，圆心距为P，则结论：外离P>R+r;外切P=R+r;内含P 内切P=R-r;相交R-r 。 【圆的面积公式】 设圆半径为 ：r, 面积为 ：S . 则 面积 S= π·r^2 ; π 表示圆周率 即 圆面积 等于 圆周率 乘以 圆半径的平方即 S=πr^2 【圆的标准方程】 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 【两圆关系】 ①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) 【圆与弧的公式】 正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 弧长计算公式：L=n兀R／180 扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2 内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r) ①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r)⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) 定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 定理把圆分成n(n≥3)：⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 弧长计算公式：L=n兀R／180 扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r) 直线【直线与圆】 ①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d＞r 【直线和圆位置关系】 ①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。 ②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d ③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。(d为圆心到直线的距离) 平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程 如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1 当x=-C/Ax2时，直线与圆相离; 当x=-C/Ax2时，直线与圆相离; 不管是点和圆位置关系又或是直线和圆位置关系，都需要我们灵活运用于实际。 直线的公式定理大全 直线(Straight line)是几何学基本概念，是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。或者定义为：曲率最小的曲线(以无限长为半径的圆弧)。 从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。 求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，二直线平行;有无穷多解时，二直线重合;只有一解时，二直线相交于一点。常用直线与 X 轴正向的夹角( 叫直线的倾斜角)或该角的正切(称直线的斜率)来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。 在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。 空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置， 由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。在欧几里得几何学中，直线只是一个直观的几何对象。在建立欧几里得几何学的公理体系时，直线与点、平面等都是不加定义的，它们之间的关系则由所给公理刻画。 在非欧几何中直线指连接两点间最短的线，又称短程线。 方向向量：截取直线l上两点A(l,n,0)和B(k+l,m+n,1)方向向量为：AB=(k,m,1) 【直线的一般式方程】 在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x、y的二元一次方程。 在平面直角坐标系中，任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。 我们把方程：Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式。 斜率-A/B;y轴截距-C/B。 直线的一般式方程是最基础的关于直线的方程公式，也是运用最多的公式。 【直线的空间方程】 1、一般式 ax+bz+c=0,dy+ez+fc=0 2、点向式： 设直线方向向量为(u,v,w )，经过点( x0,y0,z0) (X-X0)/u=(Y-Y0)/v=(x-x0)/w 3、x0y式 x=kz+b,y=lz+b 【法线式】 过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度 x·cosα+ysinα-p=0 【直线的平面方程】 1、一般式：适用于所有直线 Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 2、点斜式：知道直线上一点(x0，y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为 y-y0=k(x-x0) 当k不存在时，直线可表示为 x=x0 3、斜截式：在y轴上截距为b(即过(0，b))，斜率为k的直线 由点斜式可得斜截式y=kx+b 与点斜式一样，也需要考虑K存不存在 4、截距式：不适用于和任意坐标轴垂直的直线 知道直线与x轴交于(a，0)，与y轴交于(0，b)，则直线可表示为 bx+ay-ab=0 特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=1 5、两点式：过(x1，y1)(x2，y2)的直线 (y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在) 6、法线式 Xcosθ+ysinθ-p=0 其中p为原点到直线的距离，θ为法线与X轴正方向的夹角 7、点方向式 (X-X0)/U=(Y-Y0)/V (U，V不等于0，即点方向式不能表示与坐标平行的式子) 8、点法向式 a(X-X0)+b(y-y0)=0 大家尤其要注意的是直线方程的一般式中系数A、B不能同时为零。 【直线的点斜式】 已知直线上一点(x1,y1),并且存在直线的斜率k，则直线可表示为 y-y1=k(x-x1) 适用范围：k≠0 ◆k=(y2-y1)/(x2-x1) (x1≠x2) 其它【因式分解公式】 公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 平方差公式：a平方-b平方=(a+b)(a-b) 完全平方和公式： (a+b)平方=a平方+2ab+b平方 完全平方差公式： （a-b)平方=a平方-2ab+b平方 两根式： ax^2+bx+c=a[x-(-b+√(b^2-4ac))/2a][x-(-b-√(b^2-4ac))/2a]两根式 立方和公式： a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 完全立方公式： a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3． 【乘法与因式分解】 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
【因式分解】 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 【根判别式】 b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根 【垂径定理】 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 |
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