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1、向量。做向量运算时可以利用物理上矢量法的正交分解做，对解一些向量难题有好处。 2、四面体。在三条棱两两垂直的四面体中，设三条棱长为abc底面的高为h，则有，1/h∧2＝1/a∧2+1/b∧2+1/c∧2 3、平面方程。空间直角坐标系中的平面方程，先求平面的一个法向量n=（a，b，c）再取平面内任意一点A（e，f，g），则平面的方程为a（x-e）+b（y-f）+c（z-g）=0，化成一般式Ax+By+Cz+D=0，之后就可以解很多东西，比如求点M（o，p，q）到面距离，用公式d=丨Ao+Bp+Cq+D丨/√（A∧2+B∧2+C∧2）（类似点到直线距离公式） 4、正弦、余弦的和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 5、函数的周期性问题(记忆三个)：1）若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;2）若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;3）若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。 6，数列的终极利器，特征根方程。(如果看不懂就算了)。首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7，函数详解补充：1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外2，复合函数单调性：同增异减3，重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8，常用数列bn=n×(2²n)求和Sn=(n-1)×(2²(n+1))+2记忆方法：前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2 9，适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式：k椭=-{(b²)xo｝/{(a²)yo｝k双={(b²)xo｝/{(a²)yo｝k抛=p/yo注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10，强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技：已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[这个条件为了防止两直线重合)注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀! 1高考数学32条秒杀公式：11-20 秒杀公式10 排列组合爆强定理（无数人搞不清楚）： 计数原理中的分组分配问题解释如下： 1、[分组问题]包括平均分组，非平均分组，部分平均分组 2、[分配问题]包括定向分配，不定向分配 注意：需要消序(就是除以组数的全排列)的是：平均分组，部分平均分组，不定向分配（先分组后排列）。 角平分线定理中线长定理离心率，无非是找到一个等式即可！ 这个也蛮不错的，椭圆中e＝√[1－b^2//a^2] 双曲线中 －改＋ 即可。 考试中最终一般都是转化到a与b之间的关系，所以利用上述公式，直接写e！一步到位！ 秒杀公式11 （a＋b＋c）^n的展开式[合并之后]的项数为：Cn+2 2 ，n+2在下，2在上。 数学选择题最后一题一般选的是最不可能的答案， 另外〔个人〕觉得选A、B正确率较大。 纯粹是〔当作参考〕。会做的一定做完！ 爆强立体思路：等体积法。 比如，求内切球（注意到球心到各面都为r） 再次强调：三次函数图像必定存在唯一对称中心，就是二阶导的零点！ 关于解决证明含ln 的不等式的一种思路： 举例说明：证明1＋＋＋…＋1/n≥ln（n+1） 把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。 解：令an＝1/n ， 令Sn＝ln（n+1）， 则bn＝ln（n＋1）－lnn ， 那么只需证an ＞bn即可， 根据定积分知识画出y＝1/x的图。 an＝1×1/n＝矩形面积＞曲线下面积＝bn。当然前面要证明1＞ln2。 注：仅供有能力的童鞋参考！！ 另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。 说明：前提是含ln 关于一个重要绝对值不等式的介绍： ∣|a|－|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣＋∣b∣ 秒杀公式12 对于y^2＝2px，过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p 爆强简洁公式： 向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的数量积〕/[向量b的模] 趁热打铁， 告诉你们，椭圆的参数方程也是一个很好的东西，它可以解决一些最值问题。比如x^＋y^2＝1 求z＝x＋y的最值。 解：令x=2cosa y=sina 再利用三角有界即可。 比你去▲=0不知道快多少倍！！！ [仅供有能力的童鞋参考]] 秒杀公式13 和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] 积化和差 sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 秒杀公式14 形垂心爆强定理： 1，向量OH＝向量OA＋向量OB＋向量OC （O为三角形外心，H为垂心） 2，若三角形的三个顶点都在函数y＝1/x 的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。 秒杀公式15 爆强定理：直观图的面积是原图的√倍。 一个爆强定理的重提： 对于y^2＝2px，过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。 秒杀公式16 关于对称问题（无数人搞不懂的问题） 总结如下： 1）若在R上（下同）满足：f（a＋x）＝f（b－x）恒成立， 对称轴为x＝（a＋b）/2； 2）函数y=f（a＋x） 与y=f(b－x）的图像关于x=（b－a）/2对称； 3）若f(a+x)＋f（a－x）＝2b ，则f（x）图像关于（a，b）中心对称函数详解续 秒杀公式17 函数奇偶性 1）对于属于R上的奇函数有f（0）＝0 ； 2）对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项 3）奇偶性作用不大，一般用于选择填空函数详解 复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外 复合函数单调性：同增异减 秒杀公式18 1，遵循原则：定义域优先（不遵守这个，必死） 2，终极法宝：数形结合（90％的题可以根据图像破解） 3，辅助方法：分类讨论函数 注意点：a.周期函数，周期必无限 b.周期函数未必存在最小周期 ，如：常数函数 。 c.周期函数加周期函数未必是周期函数， 如：y＝sinx y＝sin派x 相加不是周期函数。 函数的周期性问题 （记忆三个 ）： 1）若f(x）＝－f（x＋k） ，则T＝2k ； 2）若f（x）＝m/（x＋k）（m不为0），则T＝2k ； 3）若f（x）＝f（x＋k）＋f（x－k） ，则 T=6k 。 秒杀公式19 爆强定理：直观图的面积是原图的√倍。 一个爆强定理的重提： 对于y^2＝2px，过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。 秒杀公式20 形垂心爆强定理： 1，向量OH＝向量OA＋向量OB＋向量OC （O为三角形外心，H为垂心） 2，若三角形的三个顶点都在函数y＝1/x 的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。 1高考数学32条秒杀公式：21-32 秒杀公式21 ecosA＝（x－1）/（x＋1）A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。 注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分， 用该公式；如果外分，将公式中正负号对调。焦点内分的意思是：焦点在线段内部。 外分意思是焦点在延长线上。 前面的那个公式ecosA＝(x-1)/(x+1) cosA还可以根据直线的斜率k去求，所以公式的另外一种表达形式是爆强：e√[1/（1＋k^2）]＝（x-1）另外注意：内分用此公式，外分则将等号右边的分子分母对调！ 秒杀公式22 爆强公式：k椭＝-｛（b^2） xo｝/｛（a^2）yo｝ k双＝｛（b^2） xo｝/｛（a^2）yo｝ k抛＝p/yo 注：（xo，yo）均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 爆强到底！椭圆中焦点三角形面积公式：S=b^2tan(A/2)在双曲线中：S＝b^2/tan(A/ 2) 说明：适用于焦点在x轴，且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。： 23.函数 爆强定理的证明：对于y^2＝2px， 设过焦点的弦倾斜角为A.那么弦长可表示为2p/〔（sinA）^2〕， 所以与之垂直的弦长为2p/[（cosA）^2]，所以求和再据三角知识可知。 24.关于三次函数 恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。 它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。数列的终极利器，特征根方程。（如果看不懂就算了）。 首先介绍公式：对于an＋1＝pan＋q （n＋1 为下角标，n为下角标）， a1已知，那么特征根x=q/(1－p) ，则数列通项公式为an＝（a1－x）p^（n－1）＋x ，这是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造（两边同时加数），记到公式，一步到位，迅捷加准确！要知道考试时每一分一秒都很重要！ 25.数列爆强定律： 1，等差数列中：S奇＝na中，例如S13=13a7（13和7为下角标） ； 2等差数列中：S(n)、S(2n)－S(n)、S(3n)－S（2n）成等差 3，等比数列中，上述2中 各项在公比不为负一时成等比，在q＝-1时，未必成立 4，等比数列爆强公式：S(n＋m)＝S(m)＋q^m S(n) 可以迅速求q常用数列bn＝n×(2^n) 求和Sn＝（n－1）×（2^(n＋1)）＋2 记忆方法：前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2求通项方法：x^2＝b1x＋b2 得特征根x1，x2 。 1，若它们不相等，an＝px1^n＋qx2^n （其中p，q由a1，a2代入an后确定）； 2，若它们相等，有an＝[a1＋（n-1）d]x1^（n－1）（d由a1，a2代入an确定）数列（续） 经典中的经典：相信邻项相消大家都知道。下面看隔项相消：对于Sn＝1/（1×3）＋1/(2×4)＋1/（3×5）＋…＋1/[n(n＋2)]＝[1＋－1/(n＋1)－1/(n＋2)] 注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项 。自己把式子写在草稿纸上，那样看起来会很清爽以及整洁！ 26.两直线垂直或平行的必杀技 已知直线L1：a1x＋b1y＋c1＝0 直线L2：a2x＋b2y＋c2＝0 若它们垂直：（充要条件）a1a2＋b1b2＝0 ；若它们平行：（充要条件）a1b2＝a2b1 且a1c2 ≠a2c1 [这个条件为了防止两直线重合） 注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀！ 27.爆强△面积公式： S＝∣mp－nq∣ 其中向量AB＝（m，n），向量BC＝（p，q） 注：这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题！！ （思路：数学归纳法外带一个积化和差公式） 1、当n＝1时，显然cosA为有理数 ； 2、当n＝2是cos2A＝2cos^2(A)－1 仍是有理数 ； 3、假设当n大于或等于3时，令n＝k，（k大于或等于3），coskA、cos（k－1）A为有理数，那么cos[（k＋1）A]＝coskAcosA－sinkAsinA＝coskAcosA－｛cos（kA－A）－cos（kA＋A）＝coskAcosA＋cos（k＋1）A－cos（k－1）A 由于各项均为有理数，所以和差仍为有理数！！证毕！ 28.爆强公式二项分布 Ex＝np Dx＝np（1－p）前者是期望， 后者是方差。 超几何分布：就是n次取样中，抽到“次品”，或者抽不到。 爆强公式Ex＝n（m/M） 记忆方法：n倍的次品率。 29.空间立体几何中： 以下命题均错： 1，空间中不同三点确定一个平面； 2，垂直同一直线的两直线平行 ； 3，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ； 4，如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则直线垂直平面 ； 5，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； 6，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体都是棱锥 注：对初中生不适用。 30.不等式总结 1，《这串给我记到，考了n遍》 √〔（a^2＋b^2）〕/2≥（a＋b）/2≥√ab≥2ab/（a＋b） （a、b为正数，是统一定义域） 31.不等式续爆强公式： x1＋x2＋x3…＋xn≥n倍开根号n次方下（x1x2x3 …xn） 所有数均正 爆强公式1^2+2^2＋3^2＋…＋n^2＝（n）（n＋1）（2n＋1） ； 1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3＝（n^2）（n＋1）^2 32.空间向量 爆强定理：空间向量三公式解决所有题目：cosA＝|｛向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模] |一：A为线线夹角，二：A为线面夹角（但是公式中cos换成sin）三：A为面面夹角 注：以上角范围均为[0，派/2]。切线方程xo，yo)为切点 强切线方程记忆方法：写成对称形式，换一个x，换一个y。 举例说明：对于y^2＝2px 可以写成y×y＝px＋px 再把（xo，yo）带入其中一个得：y×yo＝pxo＋px 易错点： 若f(x+a）[a任意]为奇函数，那么得到的结论是f(x+a)＝-f(-x＋a）〔 等式右边不是-f(-x-a）〕 ，同理如果f(x+a)为偶函数，可得f(x+a）＝f（-x+a）牢记！！ e＝sinA/（sinM＋sinN） 注：P为椭圆上一点， 其中A为角 F1PF2，两腰角为M，N三角 1高考数学选择题秒杀公式 1.特值检验法 对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。 例：△ABC的三个顶点在椭圆4x2+5y2=6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为 A.-5/4B.-4/5C.4/5D.2√5/5 解析：因为要求k1k2的值，由题干暗示可知道k1k2的值为定值。题中没有给定A、B、C三点的具体位置，因为是选择题，我们没有必要去求解，通过简单的画图，就可取最容易计算的值，不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为椭圆的短轴上的一个顶点，这样直接确认交点，可将问题简单化，由此可得，故选B。 2.极端性原则 将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。 3.剔除法 利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。 4.数形结合法 由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。 5.递推归纳法 通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。 6.顺推破解法 利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。 例：银行计划将某资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M，60%的资金给项目N，项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户.为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率最小值为() A.5%B.10%C.15%D.20% 解析：设共有资金为α，储户回扣率χ，由题意得解出0.1α≤0.1×0.4α+0.35×0.6α-χα≤0.15α 解出0.1≤χ≤0.15，故应选B. 7.逆推验证法(代答案入题干验证法)： 将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。 例：设集合M和N都是正整数集合N*，映射f：M→把集合M中的元素n映射到集合N中的元素2n+n，则在映射f下，象37的原象是() A.3B.4C.5D.6 8.正难则反法： 从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。 9.特征分析法： 对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。 例：256-1可能被120和130之间的两个数所整除，这两个数是： A.123，125B.125，127C.127，129D.125，127 解析：初中的平方差公式，由256-1=(228+1)(228-1)=(228+1)(214+1)(27+1)(27-1)=(228+1)(214+1)·129·127，故选C。 10.估值选择法： 有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。 |
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