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国家历史博物馆（俄罗斯） 有位童鞋在私信里调侃说，公号能否出一个“60分过关”专题，我没有答他，这实际上意味着公号不可能做这件事。原因大体有二： 一、无论是课程助学、还是考研助考，公号的宗旨都是“问题可以拿出来讨论，但公号坚决不履行任何押题和猜题的职能”，因为将扎扎实实的学习寄托于或然率的做法是我从不愿苟同的。 二、因为开了这个公号，本人目前在通院似乎连考前审读试题的“权利”都已被剥夺了，被像贼一样防着。本人对此种从根源上杜绝我做错事的做法不胜感激！所以，可以明示（不是暗示）所有童鞋，公号在剩下的时间里，除了这篇图文和私信答疑以外，的确也做不了什么了，还请大家谅解！ 通院单独命题考试是第二回。个人认为，对通院童鞋来说，以往的统考期末试题和通院2018年的期末试题都可作为参考，因为命题老师必须在一定程度上贯彻“减学时不减难度”的要求。但话说回来，有个别点，考的可能性的确不大，比如，“离散系统的频响和稳态响应”这一内容。原因是，48学时几乎不可能把这个内容讲透了，再拿来考的确有点“不人道”！ 去年考试结束，针对通院单独命题试题做过简要的分析。在此再次给出，供大家参考。个人看法，过于相似的考点属于某种程度上的命题疏失，但想来这种轻微疏失或许是有利于大家的 图1 对2018年通院单独命题试题的简要分析 2018年通院单独命题试题题解链接为：通院2018期末试题参考解答。参加校统考的同学可通过点击文末的『阅读原文』访问其他试题资源。 然而，回顾今年我在所带班上为迁就学时可能有所遗漏的点，就以下两个问题在此给大家作点补充。 1. 系统频率响应 连续、离散系统的频率响应 系统频率响应无疑是“信号与系统”课程的核心内容之一，频率响应在频域对系统进行“有形”表征。一般，我们只就稳定系统来讨论频率响应。频率响应和系统函数的关系如下： 需要说明的是，离散系统频率响应中的自变量ω，常常被称作离散角频率（单位是：弧度，rad）。而且很多教材上为了与连续角频率（在所有教材上被统一记作ω，单位是：弧度/秒，rad/s）区别开来，将离散角频率记作别的符号，比如Ω、还比如θ，并且通过时域取样定理，将两个角频率用如下关系联系起来（区别起见，离散角频率暂以θ表示）： 根据取样定理，时域等间隔取样将对应为频域频谱的周期性重复，重复周期是取样角频率ωs，这也就是离散时间傅里叶变换（和离散频率响应）呈现周期性（周期为2π）的根本原因。由于ωs=2π/T，根据上式，离散角频率（θ）和连续角频率（ω）的对应关系如表1。 表1 离散角频率（θ）和连续角频率（ω）的对应关系 频率响应是实变量ω（以下讨论，连续、离散角频率统一以ω表示）的复函数，可将其分为幅度频率响应和相位频率响应，即： 对于实（连续和离散）系统来说，其幅频响应是ω的实偶函数，其相频响应是ω的实奇函数。那么，容易论证，对于是离散系统，在一个周期[0,2π)内，离散幅频响应关于ω=π偶对称，离散相频响应关于ω=π奇对称。所以，求取离散频率响应时，一般只需确定[0，π]范围内的响应即可。 连续、离散频率响应的几何解法 下面我们讨论频率响应几何解法，设所讨论的系统是具有有理系统函数的实因果稳定系统。公号里曾经有图文涉及过这一内容，请参考图文“冈仁波齐”。 在此，我们先再次给出s平面与z平面的映射关系，如图2。 图2 s平面到z平面的映射 假设实系统是因果稳定的，这意味着所有系统极点都位于s平面左半开平面（或所有极点均位于z平面单位圆内），其收敛域包括s平面的虚轴（或收敛域包括z平面的单位圆）。设系统函数如下： 其中K为实常数，zi和pi分别表示零点（zero）和极点（pole）。那么，实因果稳定系统的频率响应为： 我们可以将系统函数分子、分母中的每一个连乘项都看作两个平面向量的差。根据如图3所示的向量减法，我们将分子上的每一个连乘项称作一个零点向量，在s平面（或z平面）上它由零点指向点jω（或点ejω）；将分母上的每一个连乘项称作一个极点向量，在s平面（或z平面）上它由极点指向点jω（或点ejω）。连续时间系统和离散时间系统的零、极点向量如表2所示。 图3 平面上的向量减法 表2 零点向量和极点向量
把这些向量表示在s平面（或z平面）上，如图4所示。图中假定给定连续系统函数在s平面共有5个零、极点（3个极点p1、p2、p3，两个零点z1、z2；其中p2和p3共轭）；假定给定离散系统函数在z平面共有4个零、极点（两个极点p1、p2，两个零点z1、z2；其中零点z1=0）。
图4 频率响应几何解法示意图 图中特别以红色强调了向量jω和向量 ejω，不妨称之为“活动向量”。这两个向量会随着ω的增大（假定ω≥0）而发生变化：向量jω会随着ω的增大而不断伸长；向量ejω会随着ω的增大而作逆时针旋转。它们的变化会导致零点向量和极点向量的变化，最终呈现为频率响应的变化。即：
其中频响自变量用“·”代替意味着上述计算式既适合于连续系统频率响应又适合于离散系统频率响应，这就是说系统频响等于零点向量连乘乘积与极点向量连乘乘积之比。这里由于K为实常数，那么K≥0时ψ0=0；K<0时ψ0=π。幅频、相频响应则分别按表3所示进行计算。 表3 幅频、相频响应的计算
2. 连续系统通过特性的判定 连续系统有哪些通过特性 此处所说的“连续系统通过特性”是指其频响的幅频响应特性。概括起来，连续系统的幅频响应特性（即|H(jω)|~ω的关系曲线）通常有以下四种形式，如图5。
我们知道，幅频特性反映了系统对通过它的信号中不同频率成分的幅度增益。所谓“低通”指的是该系统“让相对低的（一般始于零频率，即ω=0）频率成分有效通过（低频部分具有相对高的增益），而抑制相对高的所有频率成分（高频部分增益较低甚至为零——完全抑制）”；其他3种形式的幅频特性可作类似的顾名思义的解释。通信系统中常常把具有上述某种特性的系统称之为“滤波器（Filter）”，比如具有低通幅频特性的系统就称为低通滤波器（Low Pass Filter）。 注意，以上类别中并未包括全通滤波器。全通滤波器是指满足|H(jω)|=K，K>0的滤波器。尽管这种滤波器在理论上也具有着重要的意义，但一般不将其归入上述通过特性的类别划分中。 常见一阶、二阶系统的通过特性 一阶和二阶系统的常见系统函数形式（/ 零、极点特征）以及它们所对应的幅频响应特性如表4、表5所示。 表4 一阶系统的通过特性
这里在幅频特性图中都假定|H(j0)|=1（序号1的情况）或|H(j∞)|=1（序号2、3、4的情况）。显然，|H(j0)|（或|H(j∞)|）数值的改变并不改变相应系统的通过特性。 表5 二阶系统的通过特性
1. 序号6的情况假定|H(j0)|=1，序号8的情况假定|H(j∞)|=1。显然，|H(j0)|（或|H(j∞)|）数值的改变并不改变相应系统的通过特性。 2. 序号6、7、8是二阶实极点的情况；序号9、10是二阶共轭极点的情况。 3. 这里只罗列了一些常见的情况，而并未列出所有的情况。以下给出一个二阶带阻系统的例子： 考虑如图6所示的二阶系统，这里假定ω2 > ω1 >0。
图6 二阶带阻系统的零极点图和通过特性 针对这种零、极点情况的实例是：
用Matlab仿真得到的确切的幅频特性如图7。
图7 带阻特性实例的幅频特性 往届涉及通过特性的考题 题目1 2015年期末试题单选题10
题目1实际上对应于上述序号7的情形。用Matlab仿真得到的确切的幅频特性如图8。
图8 2015年期末试题单选题10幅频特性仿真图 作为滤波器的话，这道考题所对应系统的通带非常的窄（带通滤波器的通带一般定义为幅度下降为峰值的0.707倍（即“2分之根号2”倍）所对应的两个频点的差值——高频点减去低频点），这个滤波器恐怕并不具有什么实际意义。可是，作为考题，它的的确确是呈“带通特性”的。 题目2
题目2题设系统是积分器，我们知道积分器的冲激响应h(t)=ε(t)，并且：
也就是说，H(jω)是存在的，但不能由在H(s)中令s=jω直接得到。对于临界稳定的情况，我们也可以将实际存在的H(jω)称作系统的频率响应，并且按照其幅度响应随ω增加呈递减变化的变化规律，视之为低通滤波器。 神圣的战争 Alexandrov Ensemble |
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