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有一位学生朋友提出如下问题: 如何根据一个系统函数h(z)在z平面上的零点和极点分布, 判定这个系统是低通, 带通, 高通, 带阻还是全通? 江志红博士在”深入浅出数字信号处理”第11页写道: 就整体来说, 理解数字信号处理有三把"万能"的钥匙: 时域与频域的相互切换, 向量和MATLAB软件. 我认为总结得很好. 其中, 向量当然包括复数, 当涉及数字滤波器的幅频特性和相频特性时, 向量是一个很好的工具, 可以回答这位朋友的问题. 江志红《深入浅出数字信号处理》 吴镇扬教授的《数字信号处理》(高等教育出版社, 第三版, 2016年, 图2)” 1.4.4 系统函数的零点和极点”一节对零极点的意义和向量表示做了很好的阐述. 吴镇扬《数字信号处理》（第三版） 因果稳定的滤波器的极点都在z平面单位圆内, 滤波器的性质(因果稳定性)主要由极点决定. 零点也影响滤波器的频率特性. ① 低通滤波器的极点大部分位于z平面正实轴的单位圆附近, 此时|ω|较小, 对应低频. 注意, 其中fs是最大采样频率, 满足奈奎斯特采样定律. 这时|di|较小, 则其倒数较大, 即低频部分对应的频率幅值较大, 所以是低通滤波器. 低通滤波器的零点则相反, 不能位于正实轴单位圆附近. ② z平面单位圆附近有零点的, 该点附近的频率(由④式确定)是阻带. ③ 对于带通和带阻滤波器可以同样说明. ④ 总结为: 极点越靠近单位圆, 那么对应部分的频率的幅频值越大; 零点越靠近单位圆, 那么对应部分的频率的幅频值越小; 位于单位圆上的零点完全阻止该频率通过滤波器. ⑤ 对于全通滤波器, 程佩青教授的教材”数字信号处理教程”有专门的一节进行阐述: ”6.3全通系统”, 极点和零点互为共轭倒数. 程佩青《数字信号处理教程》 |
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