【原】《信号与系统》整理

微分方程

通解/特解/初始条件

通解（general solution）：一个微分方程的所有解的统一形式。

特解（particular solution）：通解中的任意常数确定后的解。

初始条件/初值条件：已给定的条件，比如“通过定点”。用于确定解的范围。

可分离变量的微分方程

齐次方程

从而消去可分离变量的微分方程

*可化为齐次的方程：多出了常数、

*利用变量代换求微分方程的解

一阶线性微分方程（齐次/非齐次）

一阶：包含的一阶导数。

线性：仅有、，且系数为一次方，不能有、等。

*伯努利(Bernoulli)方程

可降阶的高阶微分方程

常系数齐次线性方程

线性微分方程的解的叠加原理

欧拉方程

第一章

1-1判断连续/离散时间信号。判断离散信号是否是数字信号。

若是被量化的，则是数字信号。

1-5已知f(t)，求f(t)的运算

高中知识

1-12绘制时间函数的波形图

阶跃函数

有的教材中表示为

分段绘制。最左边一段是0

1-14冲激信号的抽样特性

冲激函数

读音delta

冲激信号的抽样特性（或称“筛选”特性）

表示抽样时刻，表示抽样时刻

把的值代入中，遵从积分原则提取出，即为所得。

若有多个，遵从积分原则，拆开分别计算即可。

线性时不变系统（线性时不变，Linear Time-Invariant，缩写为LTI），简称LTI系统，包括连续时间系统与离散时间系统。

1-19绘仿真框图

三个基本运算单元：

①相加

②倍乘（标量乘法运算）

③积分（或微分）

输入

一般地，输入用，输出用，其中e表示激励（excitation）

由微分方程建立系统框图：先取一项，使用中间变量

系统的特性

习题1-20

①线性的（叠加性与均匀性）

②时不变的

③因果的

因果：响应在激励之后。时刻，受到过去（）的影响

注意！重点关注！如果，仍然是因果！属于系数，而非是未来的影响！

第二章

2-1由电路图建立微分方程

基本公式：

起始点的跳变：

(1)根据物理特性

(2)冲击函数匹配法

零输入响应

Zero input没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。

零状态响应

Zero status不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统外加激励信号所产生的响应。

例2-7 电路图建立微分方程

冲击函数匹配法

的求解方法   

A根据时刻的状态列写方程，并令输入为零

B求解微分方程得到通解(特解为零)

C根据起始值确定系数，中

的求解方法

A根据时刻的状态列写方程

B求解微分方程得到通解(齐次解+特解)

C求时刻起始值，且

D根据起始值确定系数

设特解，右侧激励也代入：（）

微分方程特解求法

激励→特解
常数	常数

响应的分类

(1)零输入响应和零状态响应

(2)自由响应和强迫响应：

自由响应（或固有响应）：齐次解的函数特性仅依赖于系统本身（特征根、齐次解），同时依从于起始状态、激励信号。

强迫响应（或受迫响应）：齐次解的系数A仍与激励信号有关（特解）。

(3)瞬态响应和稳态响应

瞬态（暂态）响应：t→∞时趋近于零。

稳态响应：除去瞬态响应后，剩余的。

（对于稳定系统，瞬态响应就是自由响应）

冲激响应

，系统产生的零状态响应。

阶跃响应

，系统产生的零状态响应。

冲击响应的求解步骤

A根据时刻的状态列写方程，并令

B求解微分方程得到通解(特解为零)

C求时刻起始值，且

D根据起始值确定系数

表示的变化，仅在时为1，在和都是0。

所以上面的，就是仅仅考虑这个变化值的关系。

阶跃响应的求解步骤

A根据时刻的状态列写方程，并令

B求解微分方程得到通解(齐次解+特解)

C求时刻起始值，且

D根据起始值确定系数

奇异函数平衡法

奇异函数平衡法求解步骤

A根据条件列写方程

B求解微分方程得到通解+各次冲击

C将完整解代入方程求解系数

齐次解法

A根据条件列写方程

B令右端为，并求解冲击响应

C根据原方程求出最终解

卷积

第三章傅里叶变换

傅里叶级数（三角形式）

直流分量：

能进行傅里叶级数展开的需要满足狄里赫利条件（Dirichlet Conditions，又称狄利克雷条件）

将同频率的项，合并，得：

单边幅度谱与相位谱：

例题

把每项归一化成相同形式：

从而得出：幅度、相位

三角形式傅里叶级数的对称性

为偶函数：

为奇函数：

为奇谐函数（半波对称函数）：

傅里叶级数（指数形式）

简写作

双边幅度谱（幅度一半、偶对称）与相位谱（奇对称）：

例题

幅度：为单边的一半（除了n=0）

相位不变

★傅里叶变换

已知傅里叶级数的指数形式：

则得：

★正变换（由时域到频域）

★逆变换（由频域到时域）

是的频谱函数

■傅里叶变换性质

性质	时域	频域	对应关系
线性			线性叠加
对称性★			表达式对称
尺度变换			压缩与扩展
			反褶
时移★			时移与相移
频移★			调制与频移
时域微分
频域微分
时域积分
时域卷积★			乘积与卷积 （3.8 卷积定理）
频域卷积
时域抽样			抽样与重复 （3.10 抽样）
频域抽样
相关			（6.6 相关）
自相关

■常用变换

	时域	频域
冲激函数
直流信号
冲激偶函数
阶跃函数
单边指数信号
双边指数信号
矩形脉冲
抽样脉冲
三角脉冲
钟形脉冲（高斯脉冲）
符号函数
升余弦脉冲
余弦函数
正弦函数

Sa抽样函数

x=0时导数为0

抽样定理

抽样脉冲：

：信号的最大频率。

奈奎斯特（Nyquist）频率：一个周期内至少抽样两次，信号最低允许的抽样率。

奈奎斯特间隔：最大允许的抽样间隔。

多个信号相加，则取最大的（最小的）

第四章 拉普拉斯变换

★拉氏变换

讨论傅里叶变换条件，引入衰减因子

令，得拉普拉斯正变换

由傅里叶逆变换，可求拉普拉斯逆变换

正变换举例：

收敛域

■拉氏变换性质

线性
时域平移
s域平移
尺度变换
对t微分
对t积分
对s微分
初值
终值

■常用变换

		记忆方法

逆变换/留数定理

若为有理函数：用部分分式展开法，常用拉氏变换、拉氏变换的性质；

取到会让，所以称为的“零点”。

取到会让，所以称为的“极点”。

无重根：待定系数法。

有重根：合理求导，再待定系数法。

★逆变换要注意范围，根据情况加上！

若为无理函数：用逆变换的定义，留数定理。

s域元件模型

对于R、L、C：

电感、电容：起始状态引起的附加项，用串联的电压源（并联的电流源）表示。

系统函数H(s)

由系统参数和结构确定，与外界激励、系统内部的初始条件无关。

起始条件为零的情况：

：系统零状态响应的拉氏变换，

：激励的拉氏变换，

系统函数（网络函数）：

策动点阻抗函数：激励与响应在同一端口。

转移函数：激励与响应在各自的端口。

H(s)零、极点分布

与逆变换中零、极点的定义相同。

画两个相同的符号，表示二阶。

极点落于左半平面，则衰减；

极点落在右半平面，则增长；

一阶极点，落于虚轴上，则等幅振荡或阶跃；

二阶极点，落于虚轴上，则增长。

零点只影响的幅度、相位。

全通函数：系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于轴互为镜像。

此系统则为全通系统或全通网络。全通网络函数的幅频特性是常数。

最小相移函数：系统函数的全部极点和零点均位于s平面的左半平面或轴上。

具有这种网络函数的系统为最小相移网络。

冲激响应

一阶极点分布

多阶极点分布

H(s)频响特性

：幅频响应特性

：相频响应特性（相移特性）

：截止频率

较大的阴影部分：通带

较小的空白部分：阻带

系统的稳定性

稳定的定义：系统对任意的有界输入，其零状态响应是有界的。

对于因果系统：

①稳定：系统函数的全部极点落于ｓ左半平面；

②不稳定：系统函数有极点落于ｓ右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点；

③临界稳定：系统函数没有极点落于ｓ右半平面，但在虚轴上有一阶极点。

（对于z变换）

①稳定：系统函数的全部极点落于单位圆内；

②不稳定：系统函数有极点落于单位圆外，或在单位圆上具有二阶以上的极点；

③临界稳定：系统函数没有极点落于ｓ右半平面，但在单位圆上有一阶极点。

4.12节专门研究双边拉氏变换的定义与应用

4.13节对傅氏变换与拉氏变换进行了比较,讨论它们之间的区别与联系。

第五章 滤波、调制与抽样

内容涉及5.1引言~5.4 理想低通滤波器；

5.5 系统的物理可实现性、佩利-维纳准则、5.7调制与解调选学。

激励与响应的重要关系

到拉氏变换中：

引入：对于稳定的因果系统，将中的变量以取代。（不包括临界稳定）

无失真传输

条件：

：常数。

：滞后时间。

傅里叶变换：

 

理想低通

网络函数：

其中：

冲激响应

阶跃响应

为正弦积分

：由最小值到最大值所需的时间。

B：将角频率折合为频率的滤波器带宽(截止频率)。

矩形脉冲响应

借助理想低通滤波器阶跃响应的有关结论，可以解释吉布斯现象。

吉布斯现象：对于具有不连续点（跳变点）的波形，所取级数项数越多，近似波形的方均误差虽可减少，但在跳变点处的峰起（上冲）值不能减小，此峰起随项数增多向跳变点靠近，而峰起值趋近于跳变值的9%。

第七章 离散时间系统的时域分析

离散时间信号：序列

为整数，为离散时刻之间的间隔。

■常用典型序列

名称	表达式	图像
单位脉冲 (unit impulse) 单位样本 (unit sample) 单位样值
单位阶跃 (unit step)
矩形序列
斜变序列
指数序列
正弦序列
复指数序列		\

连续信号正弦波抽样，可得正弦序列：

：离散域的正弦序列频率。

：连续域的正弦频率。

：抽样间隔时间。

：抽样频率。

离散时间系统

基本运算关系：

名称	符号	表示
延时(移位)
相加
乘系数	、

连续时间系统中，算子表示微分运算；

离散时间系统中，移序算子表示序列超前一个单位时间；

差分方程的解法

常系数线性差分方程式(difference equation)或递归关系式(recurrence relation)

因果系统（数字滤波器）：常用后向形式的（向右移序的）差分方程，例如

状态变量分析：常用前向形式的（向左移序的）差分方程，例如

常系数线性差分方程的一般式：

：常数。

：函数的位移阶次。

迭代法（7.3节）：只能得到数值解（numerical solution），无法得到闭式解（closed-form solution），或称“解析解”（analytical solution）。

时域经典法（7.4节）：求齐次解、特解，与常系数齐次线性方程求解相似。

变换域法（8.7节）：使用z变换。

卷积和

卷积和(convolution sum)

：系统响应

：激励

：单位样值响应

对位相乘求和法

针对都是有限长序列。

如下排列，把逐个样值对应相乘（不进位），再把每列按对位求和，可得

■常用卷积和

第八章 z变换

★z变换

序列的单边z变换：

为引入的复变量：

通常令，则：

收敛域

z变换的收敛域（region of convergence, ROC）：

对于任意给定的有界序列，使z变换定义式级数收敛之所有值的集合。

比值判定法，比较与1的大小：

根值判定法，比较与1的大小：

■典型序列的z变换

名称			收敛域
单位脉冲
单位阶跃
斜变序列
★指数序列
正弦序列
余弦序列

■z变换性质

			收敛域
线性
时移特性
序列线性加权 z域微分
序列指数加权 z域尺度变换
时域卷积
序列相乘 z域卷积
初值
终值

z逆变换

计算方法：

1. 围线积分法（留数法）

2. 幂级数展开法（长除法）

3. 部分分式展开法【常用】

如果中包含高阶极点，例如习题8-24，则：

在【8-24】中：

差分方程的解法

常系数线性差分方程的一般式：

：常数。

：函数的位移阶次。