习题分析、求解、小结讲解视频 2 习题与参考答案 3 内容小结与知识点 欧拉方程及其求解方法: 具有结构 的变系数线性微分方程称之为欧拉方程。 令x=eu,则u=lnx,于是有 记 即用Dk乘以一个函数,就是对该函数求k阶导数;并且关于D符合乘法运算律和分配律,即有 所以 用数学归纳法可以验证, xky(k)=D(D-1)…(D-k+1)y. 将原欧拉方程中xky(k)全部用上式代入,则可以将原方程转化为以y为函数,u为自变量的常系数线性微分方程 Dny+b1Dn-1y+…+ bny=f(eu), 即 于是,就可以通过常系数线性微分方程的求解方法求该方程的通解了。 【注】欧拉方程其实就是一种线性微分方程的结构,只不过不具有直接的显性结果,需要换元变换得到。 |
|