高数问答79 欧拉方程的求解

形状为

的方程称为欧拉方程（齐次），这里为常数。

欧拉方程可以通过变量变换化为常系数齐次线性微分方程，从而可以获得求解。

事实上，引进自变量的变换

大家注意，如果，则用变量变换所得结果一样。所以，为确定起见，我们先认定,但最后结果以代回。

直接就算得到

利用数学归纳法可以证明，对一切正整数均有关系式

其中都是常数。于是

现在我们将上述关系式代回欧拉方程，就能得到常系数齐次线性微分方程

其中是常数，因而可以用特征方程的方法求出它的通解，再代回原来的变量(注意：)就可以求得欧拉方程的通解。

下面开始定性分析。

由上述推演过程，我们知道上述关于的常系数齐次线性微分方程有形如的解，从而欧拉方程有形如的解，因此可以直接求欧拉方程的形如的解。所以我们以代入欧拉方程并约去因子，就得到确定的代数方程

它也称为欧拉方程的特征方程。

因此上述方程的重实根，对应于欧拉方程的个解

而方程的重共轭虚根, 对应于欧拉方程的个实值解

最后再做这些解的线性组合，就得到欧拉方程的通解。

在视频里我会给出几个例子，其中有考研原题，相信大家通过对上述理论的学以致用，能很快掌握这些问题。