图形图像中的数学-微分方程看三维旋转

微分方程

具有一下形式的微分方程叫做「一阶线性微分方程」

一般来说，未知函数的各阶导数都只有最多一项的时候，方程是「线性」的。如果没有最后的项，则方程叫做「齐次」的。

一个线性微分方程的解由齐次解和特殊解组成。

先来看齐次方程：

我们可以得到：

两边积分可以得到：

最后得到解：

由于是任意常数，也是任意常数，我们直接用代替，可以得到：

当方程为非齐次的时候，也就是的时候，我们可以令，也就是

把它带入原始方程可以得到：

整理可得：

求解可得

最后得到非齐次方程的求解：

当并且有初始条件的时候，齐次方程有解：

我们把在附近展开，可以得到：

微分方程中的3D旋转矩阵

旋转矩阵有一个性质：

两边对求导有：

也就是：

这就说明是一个反对沉矩阵。我们可以找到使得

两边都乘以有：

这是一个一阶线性微分方程，我们可以得到：

在附近，我们认为是个常数，那么就可以有在附近的导数：

这就是一个一阶线性微分方程，变形可得：

可以得到

我们附加一个条件的时候可以得到，这样

❝

我们一定需要注意，这个公式需要满足两个条件才能成立：

1. ；
2. 在附近，只有在这附近，才能用代替。

❞

也就是说，在单位矩阵处的导数和反对称矩阵对应；旋转矩阵可以通过反对称矩阵的指数映射得到。

在处，只要是一个常数，我们的指数映射都可以表示矩阵。我们经常使用如下定义

这样。