2.4 全微分方程（恰当方程）

介绍

尽管简单的一阶微分方程

既是可分离的又是线性的，我们可以通过另一种方式来解决这个方程，认识到等式左侧的表达式是函数 的微分；也就是说，

在本节中，我们研究以微分形式 表示的一阶方程。通过对系数 和 应用一个简单的检验，我们可以确定是否 是函数 的微分。如果答案是肯定的，我们可以通过部分积分构造.

两个变量的函数的微分

如果 是一个在 -平面的区域 上具有连续的一阶偏导数的两个变量函数，则从微积分中我们回忆起它的微分定义如下：

特殊情况下，当 ，其中 是常数时， 给出了

换句话说，给定一个一参数的函数族 ，我们可以通过计算等式两边的微分来生成一阶微分方程。例如，如果 ，则 给出了一阶微分方程

一个定义

当然，并非每个以微分形式 表示的一阶微分方程都对应于 的微分。所以，对于我们的目的，更重要的是将前述的例子反过来考虑；也就是说，如果我们给定一个一阶微分方程，例如 ，有没有办法我们能够识别表达式 是 的微分？如果有，那么方程 的隐式解就是 。我们将在下一个定义之后回答这个问题。

定义： 恰当方程

在 -平面的区域 中，如果微分表达式 对应于定义在 中的某个函数 的微分，那么它是一个恰当微分。如果形如

的一阶微分方程的左侧表达式是一个恰当的微分，那么这个微分方程被称为恰当方程。

例如， 是一个恰当方程，因为其左侧是一个全微分：

请注意，如果我们令 和 ，那么 。接下来给出的定理显示了偏导数 和 的相等并非巧合。

定理 2.4.1 确定全微分的条件

设 和 在由 定义的矩形区域 内连续，并具有连续的一阶偏导数。那么 是全微分的一个必要且充分条件是

证明必要性

为简单起见，让我们假设对所有 ， 和 都具有连续的一阶偏导数。现在，如果表达式 是恰当微分，那么存在某个函数 ，使得对于 中的所有 ，

因此，

以及

混合偏导数的相等是由于 和 的一阶偏导数的连续性。

定理 2.4.1 的充分性部分包括展示当 成立时，存在一个函数 ，满足 和 。实际上，构造函数 的方法反映了解决全微分方程的基本过程。

解决方法

鉴于微分形式的方程 ，确定等式 是否成立。如果成立，那么存在一个函数 ，满足

我们可以通过在保持 不变的情况下对 进行积分来找到 ：

其中任意函数 是积分的“常数”。现在，对 关于 进行微分，并假设 ：

最后，对 关于 进行积分，并将结果代入 。方程的隐式解是 。

有一些观察需要注意。首先，重要的是要意识到 中的表达式 不依赖于 ，因为

其次，我们可以同样开始前述过程，假设 。通过对 关于 进行积分，然后对该结果进行微分，我们会找到 和 的类似等式，分别是

在任何情况下，这些公式都不需要记住.

例 1 解一个恰当微分方程

解决

解： 由于 和 ，我们有

因此，该方程是恰当的，因此根据定理 2.4.1，存在一个函数 ，满足

从这些方程的第一个中，我们积分后得到，

对最后一个表达式关于 进行偏导，并将结果设为 ，得到

由此得出 和 。因此 ，因此该方程的隐式解是 。该解的显式形式很容易看出是 ，在不包含 或 的任何区间上都有定义。

注意: 例 1 中的微分方程的解不是 。相反，它是 ；如果在 的积分中使用一个常数，那么我们可以将解写为 。

例 2： 解一个恰当方程

解

该方程是确切的，因为

因此，存在一个函数 满足

现在，为了变换一下，我们将假设 ；即，

请记住， 可以从 符号前面拿出来的原因是，在对 进行积分时， 被视为常数。由此可得

因此 或 。因此，解的一个族是

例 3: 初值问题

解: 通过将微分方程写成形式

我们可以识别出该方程是恰当的，因为

现在

最后一个方程意味着 。积分得到

因此 或 ，其中 被替换为 。初始条件 当 时要求 ，因此 。问题的隐式解是 。

IVP的解曲线在图中以蓝色绘制，它是一族有趣的曲线的一部分。通过多种方式可以获得解族的图形，其中两种方式是使用软件绘制等高线和使用图形工具来精确绘制不同 值的显式函数，通过解 得到 。

积分因子

回顾第2.3节，线性方程 的左侧在我们将方程乘以一个积分因子时可以变换成一个导数。同样的基本思想有时也适用于非确切微分方程 。也就是说，有时可以找到一个积分因子 ，以便在乘以后，方程的左侧

是一个恰当方程。为了找到 ，我们转向了恰当方程的准则（4）。方程（7）当且仅当 时是恰当的，其中下标表示偏导数。通过微分的乘积法则，最后一个方程等同于 或

虽然 和 是已知的 和 的函数，但在从（8）确定未知的 方面的困难在于我们必须解一个偏微分方程。由于我们没有准备好这样做，我们进行一个简化假设。假设 是一个关于一个变量的函数；例如，假设 仅依赖于 。在这种情况下， 和 ，因此（8）可以写成

如果商 仍然依赖于 和 ，我们仍然陷入困境。然而，如果在进行所有明显的代数简化之后，商 结果只依赖于变量 ，那么（9）就是一个一阶常微分方程。我们最终可以确定 ，因为（9）既是可分离的又是线性的。无论是从第2.2节还是第2.3节，我们都可以得出

同样地，从（8）可以得出，如果 仅依赖于变量 ，则

在这种情况下，如果 只是 的函数，那么我们可以解（10）来求解 。

我们总结微分方程的结果：

• 如果 只是 的函数，那么（*）的积分因子是

• 如果 只是 的函数，那么（*）的积分因子是

示例 4：使非恰当微分方程成为恰当微分方程

非线性一阶微分方程

不是确切的。通过标识 ，我们找到了偏导数 和 。因为

依赖于 和 。而，

只依赖于 , 因此积分因子是

在我们将给定的微分方程乘以 后，得到的方程是

你应该验证最后一个方程现在是确切的，同时使用本节的方法，得到一族解为 .

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求解全微分方程的方法：曲线积分法 、偏积分法、凑微分法

考虑上面的非线性一阶微分方程 ，, 且均为平面上的连续可微函数。因此我们可以得到，因此这不是恰当方程。 我们要将其转化为恰当方程。接下来我们要找到一个积分因子将该方程转换为恰当方程。

首先计算得到 ，容易发现是只关于的函数， 则积分因子可以写成

将 乘到原方程的两端，得到 。我们现在可以验证这个方程是否是恰当方程：, ，两者相等，因此这是恰当方程。

然后利用恰当方程的解法可以解得原方程的解为.（读者自行验证）

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我们来尝试凑微分，

因此原方程可以写成以下形式：

从而得到了全微分方程的解。

（偏积分法读者自行尝试）

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备注

在测试一个方程是否是恰当的时，请确保它具有精确的形式 。有时微分方程会被写成 。在这种情况下，首先将其重写为 ，然后在使用 之前识别 和 。

在一些关于微分方程的文本中，研究确切微分方程的内容在线性微分方程之前。然后，刚刚讨论的找到积分因子的方法可以用来导出 的积分因子。通过将最后一个方程重写为微分形式 ，我们可以看到

从中我们得到了在第2.3节中使用的积分因子 .