一阶自治微分方程在第1.1节中，我们将普通微分方程类分为两种类型：线性和非线性。现在我们简要考虑普通微分方程的另一种分类方式，这种分类在微分方程的定性研究中具有特殊重要性。一个独立变量不显式出现的常微分方程被称为自治方程。如果符号 表示独立变量，那么自主一阶微分方程可以写成 或标准形式为 我们将始终假设式 中的函数 及其导数 在某个区间 上是 的连续函数。一阶方程 分别是自治和非自治的。 在应用中遇到的许多微分方程或不随时间变化的物理定律模型方程都是自治的。正如我们在第1.3节中已经看到的，在应用背景下，除了 和 之外的符号通常用来表示因变量和自变量。例如，如果 代表时间，那么观察以下方程 其中 和 是常数，显示每个方程都不依赖于时间。事实上，第1.3节介绍的所有一阶微分方程都是不依赖于时间的，因此它们都是自治的. 临界点函数 在式中的零点具有特殊重要性。我们称实数 是自治微分方程的关键点，如果它是 的零点，即 。关键点也称为平衡点或稳定点。现在观察到，如果我们将常数函数 代入式 ，那么方程的两边都是零。这意味着： 如果 是 的临界点，则 是自主微分方程的常数解。方程 的常数解 称为平衡解；平衡解是 的唯一常数解。 正如已经提到的，我们可以通过确定导数 的代数符号来判断非常数解 是否增加或减少；在的情况下，我们通过在 轴上识别函数 为正或负的 区间来做到这一点。 示例 自治微分方程微分方程 其中 和 是正常数，具有正规形式 ，其中 和 分别扮演 和 的角色，因此是自主的。从 我们看到0和 是方程的关键点，因此平衡解是 和 。通过将关键点放在垂直线上，我们将线分为三个区间，由 ，， 定义。图中所示的线上的箭头表示这些区间上的代数符号 ，以及非常数解 在一个区间上是增加还是减少。以下表格解释了图中的内容。   图被称为一维相轨迹图，或简称相位图，对微分方程 。垂直线称为相线。 解曲线在不求解自主微分方程的情况下，通常我们可以对其解的曲线描绘出很多。由于式中的函数 不依赖于变量 ，我们可以考虑 在 或 定义。而且，由于 及其导数 在 -轴上某个区间 上是连续函数，解的唯一存在性定理的基本结果在与 对应的 -平面上的某个水平带或区域 中成立，因此通过 中的任何点 只有一个的解曲线。见图。为了讨论起见，让我们假设确切地有两个临界点 和 ，并且 。平衡解 和 的图形是水平线，这些线将区域 分成三个子区域 、 和 ，如图所示。在这里不加证明，我们可以得出关于非常数解 的一些结论： 
有了上述事实，让我们重新审视示例中的微分方程。 上述例子重新审视现在，由临界点0和确定的轴或相平面上的三个区间在平面中对应着三个由以下定义的子区域： 其中。  图中的相图告诉我们，在中是递减的，在中是递增的，在中是递减的。如果是一个初始值，在和中我们分别有以下情况：
在图中，相线是 平面中的 轴。为了清晰起见，图中显示了原始相线，位于阴影标明的子区域和的平面左侧。平衡解和（轴）的图形以蓝色虚线显示；实线图形表示的典型图形，说明了刚才讨论的三种情况。 在示例中的子区域中，其中递减且下界无界，我们必然有。不要将这最后一句话解释为当时，；我们可以有：当时，，其中是一个有限数，取决于初始条件。从动态角度来看，可能会在有限时间内"爆炸"；从图形角度来看，可能在处有垂直渐近线。类似的情况也适用于子区域。 在微分方程是自主的，并且具有无限多个临界点，因为在为整数时成立。此外，我们现在知道，因为通过的解在两个连续的临界点之上和之下有界，且递减（对于，），所以的图形必须以水平渐近线的形式接近平衡解的图形：时，时。 示例 自治微分方程的解曲线自主方程具有单一的临界点1。从图中的相图可以得出结论，对于由和定义的子区域，解是一个递增函数，其中。对于初始条件，解是递增的且上界有界为1，因此时；对于，解是递增的且无界。  现在，是微分方程的一参数解族。给定的初始条件确定了的值。例如，对于初始条件和，我们依次找到和。如图和所示，每个这些有理函数的图形都具有垂直渐近线。但请记住，IVP的解 在特定区间上定义。这两个解分别为 解曲线是图和中以蓝色显示的图形部分。正如相图所预测的那样，在图中的解曲线中，时；在图中的解曲线中，从左侧接近1时，。 吸引子和排斥子假设是方程中给定的自治微分方程的非常数解，是微分方程的临界点。可以在附近表现出基本上三种类型的行为。在下图中，我们将放在四个垂直的相线上。当标有的点两侧的箭头都指向时，如图中所示，所有从足够接近的初始点开始的方程的解都表现出渐近行为 因此，临界点 被称为渐近稳定点。用物理类比，从接近开始的解就像一颗带电粒子，随着时间的推移被吸引到相反电荷的粒子，因此也被称为吸引子。当标有的点两侧的箭头都指向远离时，如图中所示，所有从初始点开始的方程的解都在增加时远离。在这种情况下，临界点被称为不稳定点。不稳定的临界点也被称为斥子，理由显而易见。图和中所示的临界点既不是吸引子也不是斥子。但由于表现出吸引子和斥子的特征，即从足够接近的初始点开始的解会从一侧被吸引到，从另一侧被推离，我们称临界点为半稳定点。  自治微分方程和方向场如果一个一阶微分方程是自主的，那么从其标准形式的右侧可以看出，通过用于构建微分方程方向场的矩形网格中点的线性元素的斜率仅取决于点的坐标。换句话说，通过任何水平线上的点的线性元素必须具有相同的斜率，因此是平行的；当然，沿着任何垂直线的线性元素的斜率将会变化。这些事实可以从下图中水平的黄色条带和垂直的蓝色条带中看出。该图展示了自主方程的方向场。图中的红色线性元素的斜率为零，因为它们位于平衡解的图形.  平移性质你可能还记得，函数的图形，其中是一个常数，是函数的图形经过水平平移或在轴上沿着的距离刚性平移的结果；如果，则向右平移，如果，则向左平移。事实证明，在满足中规定的条件下，自治一阶微分方程的解曲线与平移的概念相关。为了理解这一点，让我们考虑微分方程.由于和是微分方程的平衡解，它们的图形将平面分为三个子区域和： 在图中，我们在微分方程的方向场上叠加了六个解曲线。图示出了相同颜色的所有解曲线，即位于特定子区域内的解曲线看起来都相似。这不是巧合，而是横穿任何水平线上的线性元素平行的自然结果。在这种情况下，自治微分方程的以下平移性质应该是有意义的： 
因此，如果是初始值问题的解，那么是初始值问题的解。例如，很容易验证是初始值问题，的解，因此初始值问题的解是向右平移5个单位的结果： |
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