Cauchy-Euler方程引言：在前面的章节中，我们能够相对容易地找到具有恒定系数的高阶线性微分方程的显式解，但一般情况下，这种方法并不适用于具有变系数的线性方程。在第6章中，我们将看到，当线性微分方程具有变系数时，通常我们只能期望找到一个无穷级数形式的解。然而，在本节中考虑的这种类型的微分方程是这一规则的一个例外；它是一个具有变系数的线性方程，其通解总是可以用的幂、正弦、余弦和对数函数来表示。此外，它的解法与具有恒定系数的方程非常相似，因为需要解一个辅助方程。 Cauchy-Euler方程：形如 其中系数是常数，被称为Cauchy-Euler方程。这个微分方程以两位最杰出的数学家之一的名字命名，分别是Augustin-Louis Cauchy（法国，1789-1857）和Leonhard Euler（瑞士，1707-1783）。这种方程的可观特点在于，单项式系数的次数与微分阶数的阶数相匹配： 与第4.3节类似，我们从详细考察齐次二阶方程的一般解形式开始： 更高阶方程的解法也是类似的。一旦我们确定了齐次方程的补充函数，我们也可以通过参数变化来解非齐次方程。 注：Cauchy-Euler方程（1）的首项系数在处为零。因此，为了确保定理4.1.1的基本结果适用于Cauchy-Euler方程，我们将注意力集中在寻找定义在区间上的一般解上。区间也可以使用。 解法方法： 我们尝试一个形式为的解，其中需要确定。与我们在具有恒定系数的线性方程中将代入时发生的情况类似，当我们代入时，Cauchy-Euler方程的每一项都变成了乘以的多项式，因为 例如，当我们代入时，二阶方程（2）变成了 因此，当是辅助方程 的解时，是微分方程的解。这个二次方程的根是实数且不同、实数但相等，或者复数，取决于具体情况。在最后一种情况下，根会成对出现。 情况I：不同的实根， 设和是（3）的实根，且。那么和构成一个基本解集。因此，方程（2）的一般解为 示例1 不同的根解。 解：不应该仅仅记住方程（3），更好的方法是假设几次，以理解这个新辅助方程的来源和与第4.3节中获得的辅助方程的差异。对其进行两次求导， 并代回微分方程： 如果。现在意味着，所以一般解为。 情况II：重根 如果（3）的根是重复的（即），那么我们只会得到一个解，即。当二次方程的根相等时，系数的判别式必然为零。根据二次方程的公式，根必须是。 现在我们可以构造第二个解，使用第4.2节的降阶法。首先将Cauchy-Euler方程写成标准形式 并进行以下等价替换 和 。因此 通解为 示例2 重复根解。 解：假设，得 当 或 时成立。由于，根据（5），通解为。 对于高阶方程，如果 是重根且重数为，则可以证明 是个线性无关的解。相应地，微分方程的通解必须包含这个解的线性组合。 情况III：共轭复根如果（3）的根是共轭复数对，其中和是实数，那么一个解是 但当辅助方程的根是复数时，就像具有常数系数的方程一样，我们希望只使用实函数来表示解。我们注意到恒等式 通过欧拉公式，可以表示为 类似地， 将最后两个结果相加和相减分别得到 根据是任何常数值的解，我们可以看出，对于 和 ，有 由于 在区间上，我们可以得出结论 构成微分方程的一组基本的实数解。因此，方程（2）的通解为 示例3 初始值问题解 在给定的Cauchy-Euler方程中，缺少项；尽管如此，代入得到 当 时。通过二次公式，我们找到根为 和。通过将 和 代入（6），我们可以得到微分方程的通解 通过将初始条件应用于上述解，并使用，我们可以得出 和 。因此，初始值问题的解为。该函数的图形，借助计算机软件绘制，如图所示。可以看到特解随着而振荡且无界。  下一个示例说明了如何解决三阶Cauchy-Euler方程。 示例4 三阶方程解 的前三阶导数为 所以给定的微分方程变为 在这种情况下，我们可以看到将是和的微分方程的解。因此，通解为 非齐次方程 在4.4和4.5节中描述的待定系数法通常不适用于具有可变系数的非齐次线性微分方程。因此，在我们的下一个示例中，我们采用参数变化法。 示例5 参数变化法解 由于这是非齐次方程，我们首先解关联的齐次方程。从辅助方程，我们找到。现在，在使用参数变化法找到特解之前，回想一下前面章节定义的行列式和，公式 和 ，是在假定微分方程已经被放入标准形式下推导的。因此，我们将给定的方程除以，并从 我们得到。现在取，并且 我们发现 和 。 最后，对于，我们进行两次分部积分。结果是 和 。因此，为 最后， 常数系数化简 柯西-欧拉方程的解形式与具有常数系数的线性方程的解形式之间的相似之处不仅仅是巧合。例如，当和的辅助方程的根是不同且实数时，它们的一般解分别为 考虑到等式，(7)中给出的第二个解可以用与第一个解相同的形式表示： 其中。这最后的结果说明，通过替代，任何柯西-欧拉方程总可以被重写为具有常数系数的线性微分方程。思路是解出关于变量的新微分方程，使用前几节的方法，一旦得到一般解，再代回。这种方法，如最后一个示例所示，需要使用微分的链式法则。 示例6 转换为常数系数解 解决方案: 通过替代或，我们有 代入给定的微分方程并进行简化得到 由于这最后的方程具有常数系数，其辅助方程为，或者。因此我们得到。 通过待定系数法，我们尝试一个特解的形式。这个假设导致了，所以且。使用，我们得到 通过代回和，我们可以看到原微分方程在区间上的一般解是。 对于的解 在前述讨论中，我们解决了对于的柯西-欧拉方程。解决的柯西-欧拉方程的一种方法是通过使用替代（意味着）来改变独立变量，并使用链式法则： 另一种形式形如 的二阶方程也是一个柯西-欧拉方程。注意当时，（8）简化为（2）。 我们可以像解（2）那样解决（8），即寻找形式为的解，并使用 或者，我们可以通过改变独立变量，解决简化后的方程，然后进行代回。 |
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