消元法解线性常微分方程系统介绍：同时出现的常微分方程包括两个或更多方程，其中包含两个或更多依赖变量（未知函数）的导数，与单一独立变量有关。用于解决具有常数系数的微分方程系统的系统性消元方法基于变量消除的代数原则。我们将看到，在代数方程中乘以一个常数的类似物是在一个包含导数的微分方程中进行某种导数组合操作。 系统性消元：在线性微分方程系统中消除未知变量的方法是通过将系统中的每个方程重写为微分操作符表示来加快进行的。回想一下，从第4.1节中得知，单一线性方程 其中 是常数，可以写成 如果 阶微分操作符 因子化为较低阶的微分操作符，则这些因子是可交换的。例如，要将系统 重写为操作符 的形式，首先将涉及依赖变量的所有项移到一边并分组相同的变量： 与 是等价的。 系统的解： 微分方程系统的解是一组足够可微函数 等，这些函数满足系统中的每个方程在某个公共区间 上。 求解方法考虑一个简单的一阶线性方程组 或者等价地写成 对方程组中的第一个方程乘以 ，同时将第二个方程乘以 然后相加，可以消去 并得到 。由于最后一个微分方程的辅助方程的根为 和 ，我们得到 将方程组中的第一个方程乘以 2，同时对第二个方程进行 操作，然后相减，得到 的微分方程 。由此立即得到 然而，方程 (2) 和 (3) 并不适用于系统 (1) 的任意 和 的选择，因为系统本身对解中可以任意选择的参数数量施加了限制。为了看清这一点，可以观察到将 和 代入原始系统 (1) 的第一个方程后，经过简化得到 由于这个表达式必须对所有 的值都为零，我们必须有 和 。这两个方程使我们可以将 表示为 的倍数，将 表示为 的倍数： 因此，我们得出结论，系统的解必须为 请尝试将（2）和（3）代入（1）的第二个方程，并验证常数之间的关系（4）是否成立。 示例1 消元法求解求解 解法：对第一个方程进行 操作，对第二个方程进行 操作，然后相减，可以消去 。由此得到 的微分方程为 由于最后一个微分方程的特征方程为 ，我们得到解 类似地，消去 可以得到 ，从中我们找到 正如我们在前面的讨论中指出的，方程（5）的解不包含四个独立的常数。将（6）和（7）代入（5）的第一个方程得到 由 和 ，我们得到 和 。因此，系统的解为 因为我们可以轻松地用 和 的形式来解出 和 ，所以示例1的解可以用另一种形式表示： 有时，在解决系统时保持警觉是值得的。在示例1中，如果我们首先解出 ，然后可以找到 ，以及常数之间的关系，使用系统（5）中的最后一个方程。您应该验证将 代入 是否得到 。此外，请注意在初始讨论中，关系（4）和方程（1）的解 也可以通过使用（2）中的 和形式为 的方程来获得。 示例2 消元法求解首先我们用微分算子符号来写这个系统: 首先，通过消去 ，我们得到 由于辅助方程 的根是 和 ，补充函数是 。为了确定特解 ，我们使用待定系数法，假设 。因此 ， 最后一个等式意味着 ，以及 ；因此 ，以及 . 因此， 从系统（9）中消去 得到 显然，，并且可以应用待定系数法以获得形式为 的特解。在这种情况下，通常的微分和代数运算得出 ，因此 现在， 和 可以用 和 的项来表示，将它们代入（10）和（11）中的任一方程中。使用第二个方程后，将项合并后，我们得到 所以 ，以及 。 解出 和 ，然后以 和 的形式给出 和 。最后，解（8）的一个解为 示例3在第3.3节的(3)中，我们看到线性一阶微分方程系统 是描述图中显示的罐子和中盐的磅数和的模型。当时我们无法解决这个系统。但是现在，借助微分算子的术语，上述系统可以写成 通过对第一个方程应用，将第二个方程乘以，相加，然后简化，得到。从辅助方程 我们立即看出。现在，我们可以通过使用系统的第一个微分方程的形式来获得的解。以这种方式，我们找到了系统的解 在原始讨论中，我们假设初始条件为和。将这些条件应用到解中得到和。同时解这些方程得到。最终，初始值问题的解是 这两个方程的图形在图中给出。与将纯水泵入罐的事实一致，我们在图中看到和，当 时。  |
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