17.1.1 勾股定理

一、教学目标

1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)

2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)

3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点）　　　　　　　　　　　　　　　

二、教学过程

（一）情境导入

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？

（二）合作探究

探究点一：勾股定理

【类型一】 直接运用勾股定理

 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：

(1)AC的长；

(2)S_△ABC；

(3)CD的长．

解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，

          ∴AC＝＝12cm；

(2)      S_△ABC＝CB·AC＝×5×12

＝30(cm²)；

(3)      ∵S_△ABC＝AC·BC＝CD·AB，

∴CD＝＝cm.

方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．

【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用

 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．

解：此题应分两种情况说明：

(1)      当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．

           在Rt△ABD中，

            BD＝＝＝9.

          在Rt△ACD中，

           CD＝＝＝5，

        ∴BC＝5＋9＝14，

       ∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；

(2)      当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．

      在Rt△ABD中，

      BD＝＝＝9.

    在Rt△ACD中，

    CD＝＝＝5，∴BC＝9－5＝4，

   ∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.

   ∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；

   当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.

方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．

【类型三】 勾股定理的证明

 探索与研究：

方法1：如图：

对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，

所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．

根据图示写出证明勾股定理的过程；

方法2：如图：

该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？

解析：方法1：根据四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．

解：方法1：

S_{正方形ACFD}＝S_{四边形ABFE}＝S_△BAE＋S_△BFE，即b²＝c²＋(b＋a)(b－a)，

整理得2b²＝c²＋b²－a²，

∴a²＋b²＝c²；

方法2：此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点E顺时针旋转90°，再向下平移得到．

∵S_{四边形ABCD}＝S_△ABC＋S_△ACD，

S_{四边形ABCD}＝S_△ABD＋S_△BCD，

∴S_△ABC＋S_△ACD＝S_△ABD＋S_△BCD，

即b²＋ab＝c²＋a(b－a)，

整理得b²＋ab＝c²＋a(b－a)，b²＋ab＝c²＋ab－a²，

∴a²＋b²＝c².

方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．

探究点二：勾股定理与图形的面积

 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是________．

解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S₁，正方形C、D的面积和为S₂，S₁＋S₂＝S₃，即S₃＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.

方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．

（三）板书设计

1．勾股定理

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c².

2．勾股定理的证明

“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．

3．勾股定理与图形的面积

三、教学反思

课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．