算术漫谈：旋机在洛书中的体现

仰观天文，星移斗转，乌飞兔走。在人类眼中，天地苍穹就是一部大旋机。本篇继续以数字算术的方式解洛书，探讨的是洛书中的旋转机制，也就是旋机是怎样在洛书中体现的。

四九二

三五七

八一六

先介绍一个关于洛书的基本观点。洛书，人们一般认为是方图。比如九宫数的排列，三行三列，分明是一个正方形的样子。如此，洛书也就被说成了方图。然而，这个说法，只算一半；还有另一半，洛书也可以说成是圆图。古人的解释很简单，九五一、三五七、四五六、二五八，这四组数的和都是十五，和“圆的直径等长”这条圆的性质非常一致。如此，洛书也被说成是以数字五为圆心的一个圆图，其余八数则均匀分布在圆周上。

历史上，对这个洛书涵盖方圆的问题，讲的最清楚的是清代万年淳。万年淳，乾隆举人，当过县太爷，著有《洞庭湖志》。在万年淳的儒学著作中，有一个外圆内方洛书图式。遍搜古人著述，我以为此图深合天机。

外圆内方洛书图式的构造如下：

画一个圆，将五放在圆心，其余八个数放在圆周上，构成汉字“米”的形状。九在上，一在下；三在左，七在右；四在左上，六在右下；二在右上，八在左下。

接着，四二相连，二六相连，六八相连，八四相连。这是偶数正方形。

接着，九七相连，七一相连，一三相连，三九相连。这是奇数正方形。

如此，外圆内方的洛书图式已成。

万年淳的外圆内方洛书图式是静态呈现，现在我们考虑这一图式的动态效果。取两张外圆内方洛书图式，按照下面的方式添加指向箭头：

第一图，四指向二，二指向六，六指向八，八指向四；九指向七，七指向一，一指向三，三指向九；九指向二，二指向七，七指向六，六指向一，一指向八，八指向三，三指向四，四指向九。这个图称为正向旋机图。

第二图，四指向八，八指向六，六指向二，二指向四；九指向三，三指向一，一指向七，七指向九；九指向四，四指向三，三指向八，八指向一，一指向六，六指向七，七指向二，二指向九。这个图称为反向旋机图。

我们的图已经制作好了，现在可以取数作算术了。取数的方法，仍然是正向旋机图和反向旋机图对映取数。

偶数四分之一圆弧

正向取数：四九二，二七六，六一八，八三四。

反向取数：四三八，八一六，六七二，二九四。

492+276+618+834=2220

438+816+672+294=

492^2+276^2+618^2+834^2=1395720

438^2+816^2+672^2+294^2=

492^3+276^3+618^3+834^3=956242800

438^3+816^3+672^3+294^3=

有位朋友提醒我，说你这些算式不会是错的吧，要是瞎编的，那可影响不好啊，咱们要注意文章质量。哈哈，这个提醒好，这第一道算术，就留一半给看文的朋友自己来算吧。补充说明一下符号，^2表示平方，^3表示立方。

奇数四分之一圆弧

正向取数：九二七，七六一，一八三，三四九。

反向取数：九四三，三八一，一六七，七二九。

927+761+183+349=2220

943+381+167+729=2220

927^2+761^2+183^2+349^2=1593740

943^2+381^2+167^2+729^2=1593740

927^3+761^3+183^3+349^3=1285946100

943^3+381^3+167^3+729^3=1285946100

偶数圆周

正向取数：四九二七六一八三，二七六一八三四九，六一八三四九二七，八三四九二七六一。

反向取数：四三八一六七二九，八一六七二九四三，六七二九四三八一，二九四三八一六七。

49276183+27618349+61834927+83492761=222222220

43816729+81672943+67294381+29438167=222222220

49276183^2+27618349^2+61834927^2+83492761^2=13985514749033740

43816729^2+81672943^2+67294381^2+29438167^2=13985514749033740

49276183^3+27618349^3+61834927^3+83492761^3=959177030199175157646100

43816729^3+81672943^3+67294381^3+29438167^3=959177030199175157646100

奇数圆周

正向取数：九二七六一八三四，七六一八三四九二，一八三四九二七六，三四九二七六一八。

反向取数：九四三八一六七二，三八一六七二九四，一六七二九四三八，七二九四三八一六。

92761834+76183492+18349276+34927618=222222220

94381672+38167294+16729438+72943816=222222220

92761834^2+76183492^2+18349276^2+34927618^2=15965316729235720

94381672^2+38167294^2+16729438^2+72943816^2=15965316729235720

92761834^3+76183492^3+18349276^3+34927618^3=1289144023599835190642800

94381672^3+38167294^3+16729438^3+72943816^3=1289144023599835190642800

这里指出一点，实际上，一切的情形已经包含在“偶数圆周”和“奇数圆周”这两种情况中了。请注意，从一到九，只有九个数字，不用五的话，组成没有重复数字的数，最多只有八位数。因此，这两种情形已经达到了极限情形。至于用五的话，那要求正向取数和反向取数在相同的数位上，同时都是五。这一点，在前面的一篇漫谈文中，谈及万字符的时候，已经有范例了。

奇数正方形

正向取数：九七，七一，一三，三九。

反向取数：九三，三一，一七，七九。

97+71+13+39=220

93+31+17+79=220

97^2+71^2+13^2+39^2=16140

93^2+31^2+17^2+79^2=16140

97^3+71^3+13^3+39^3=1332100

93^3+31^3+17^3+79^3=1332100

偶数正方形

正向取数：四二，二六，六八，八四。

反向取数：四八，八六，六二，二四。

42+26+68+84=220

48+86+62+24=220

42^2+26^2+68^2+84^2=14120

48^2+86^2+62^2+24^2=14120

42^3+26^3+68^3+84^3=998800

48^3+86^3+62^3+24^3=998800

最后，给看文的朋友留一点算术练习吧。

直线圆弧

正向取数：四二七，二六一，六八三，八四九。

反向取数：四八一，八六七，六二九，二四三。

427+261+683+849=

481+867+629+243=

427^2+261^2+683^2+849^2=

481^2+867^2+629^2+243^2=

427^3+261^3+683^3+849^3=

481^3+867^3+629^3+243^3=

一般来说，正向取数为a，b，c，d；反向取数为e，f，g，h，那么就有，

数之和等：a+b+c+d=e+f+g+h；

平方和等：a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2；

立方和等：a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3。

我们写了这么多算式，实际上，所取的数可以达到任意大的成度，比如可以绕圈子循环自如的取数，这样选八个九万九千九百九十九位数，都是很轻松的。

九数有尽，算式无穷。

有的朋友一定会思考，这些平方等和、立方等和现象的背后，有没有更深的内涵呢？这个问题已经接近本质，我知道更深的东西是什么。这里只写一句开玩笑的话，答案与天地人三才之道有关。如果有机会再写解洛书的文，或许我会详细的谈一谈这个问题。说实话，作算术文章有点辛苦呢，需要反复演算，确认结果正确无误。