1、变化率问题一个量y关于另一个量x的变化率数学模型即为求y关于x的导数，导数为平均变化率的极限。 ●速度为路程关于时间的变化率； ●加速度为速度关于时间的变化率； ●曲线切线的斜率即为描述曲线的函数函数值关于自变量的变化率； ●人口增长率即为变化的人数关于时间的变化率； ●角速度是转动的角度关于时间的变化率； ●线密度是线段质量关于长度的变化率； …. 2、导数的几种极限定义描述 【注】抽象函数的导数的存在性和导函数的计算，分段函数分界点导数的存在性与导数的计算，一般使用导数的极限定义来判定与计算；对于分段点两侧函数表达式不同的分段函数，还需要借助左右导数的极限定义来判定与计算。 3、注意以下两个描述形式的区别与应用： 如果已知条件中没有明确函数 f(x) 在 x=x0 处可导，则 即先有极限存在，然后才有导数记号；由导数的极限定义判定导数的存在性并求函数在给定点的导数值。 如果已知函数f(x)在x=x0处可导，则 导数值等于极限值；因为导数存在，所以极限存在，从而由导数的存在性，借助极限式变形可以用来求其他极限式的极限。如 4、导函数与区间端点的可导性 函数可以在开区间内任意一点可导。通常称函数在闭区间上可导，在闭区间的端点处仅仅是左端点存在右导数，右端点存在左导数。 函数可导，必须左右导数都存在并且相等。 5、可导与连续的关系 (1)函数在一点可导，则函数在该点处一定连续；函数在某点处连续，函数在该点不一定可导！即可导必连续，连续不一定可导。 (2)函数在定义域可以处处不可导，函数也可以在定义域内仅仅只有一个可导点。比如函数 【注1】函数在一点的连续性与可导性与函数在该点邻域内的连续性与可导性没有任何关系，只要函数在该点的某个邻域内有定义即可。 【注2】连续函数也可以处处不可导！如 Weierstrass函数： 6、函数在一点导数的几何意义与连续函数不可导的几何特征 (1) 函数在一点导数的几何意义：函数描述的曲线在该点的切线的斜率 (2)连续函数不可导点的几何特征：尖点和存在铅直切线的点 【注】尖点是左右导数不相等；存在铅直切线是因为极限趋于无穷大。 7、三个最熟悉的基本初等函数的导数 这三个函数在全体实数范围内都可导，并且借助于极限定义式很容易计算得到它们的导函数结论。以它们为基础，借助导数的运算法则可以推导得到其他初等函数的导数结果。 参考课件节选：
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