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今天我们要通过两种人人都能听懂的方法研究一下，1至10000当中到底会有多少个“9”出现？ 方法（一），分类讨论法 首先我们将1—10000这一万个数当中所有含就“9”的数剥离出来，就会分成四大类： 一、所有含“9”的四位数；二、所有含“9”的三位数；三、所有含“9”的两位数；四、所有含“9”的一位数。 一、先来研究含“9”的四位数，又能分成四种： 1.含一个“9”，9XXX，X9XX，XX9X，XXX9（“X”表示非9的其他数字）。 9XXX形式：每个“X”可以填入0—8九个数字，那么这个数就会产生9×9×9=729种变化，即9XXX这种形式的数共729个。 X9XX形式、XX9X形式、XXX9形式：第一个“X”只能填入1—8八个数字（首位不能为0），后面两个“X”都只能填入0—8九个数字，那么这个数就会产生8×9×9=648种变化，即每种形式的数共648个。三种形式的数共1944个。
含一个“9”的四位数 2.含两个“9”，99XX，9X9X，9XX9，X99X，X9X9，XX99（“X”表示非9的其他数字）。 99XX形式、9X9X形式、9XX9形式：每个“X”可以填入0—8九个数字，那么这个数就会产生9×9=81种变化，即每种形式的数共81个。三种形式的数共243个，由于每个数含两个“9”那么总共486个“9”。 X99X形式、X9X9形式、XX99形式：第一个“X”只能填入1—8八个数字（首位不能为0），后的面“X”只能填入0—8九个数字，那么这个数就会产生8×9=72种变化，即每种形式的数共72个。三种形式的数共216个。由于每个数含两个“9”那么总共432个“9”。
含两个“9”的四位数 3.含三个“9”，999X，99X9，9X99，X999（“X”表示非9的其他数字）。 999X形式、99X9形式、9X99形式：每个“X”可以填入0—8九个数字，那么这个数就会产生9种变化，即每种形式的数共9个。三种形式的数共27个，由于每个数含三个“9”那么总共27×3=81个“9”。 X999形式：第一个“X”只能填入1—8八个数字（首位不能为0），那么这个数就会产生8种变化，即X999这种形式的数共8个。由于每个数含三个“9”那么总共8×3=24个“9”。
含三个“9”的四位数 4.含四个“9”的四位数只能是9999。
综上统计所有含“9”的四位数总计2673+918+105+4=3700个“9”。 二、研究含“9”的三位数，又能分成三种： 1.含一个“9”，9XX，X9X，XX9（“X”表示非9的其他数字）。 9XX形式：每个“X”可以填入0—8九个数字，那么这个数就会产生81种变化，即9XX种形式的数共81个。 X9X形式、XX9形式：第一个“X”只能填入1—8八个数字（首位不能为0），后的面“X只能”填入0—8九个数字，那么这个数就会产生8×9=72种变化，即每种形式的数共72个。两种形式的数共144个“9”。
2.含两个“9”，99X，9X9，X99（“X”表示非9的其他数字）。 99X形式、9X9形式：每个“X”可以填入0—8九个数字，那么这个数就会产生9种变化，即每种形式的数共9个。两种形式的数共18个，由于每个数含两个“9”那么总共18×2=36个“9”。 X99形式：第一个“X”只能填入1—8八个数字（首位不能为0），那么这个数就会产生8种变化，即9XX种形式的数共8个。由于每个数含两个“9”那么总共8×2=16个“9”
3.含三个“9”的三位数只能是999。
综上统计所有含“9”的三位数总计225+52+3=280个“9”。 含“9”的三位数 三、研究含“9”的两位数，又能分成两种： 1.含一个“9”，9X，X9（“X”表示非9的其他数字）。 9X形式共9个“9” X9形式共8个“9”
2.含两个“9”的两位数只能是99。
综上统计所有含“9”的两位数总计17+2=19个“9”。 含“9”的两位数 四、研究含“9”的一位数，只有一种：即，9。 综上统计所有含“9”的一位数总计1个“9”。 然后将所有“综上统计”的结果加起来可以得出，1—10000中总共会出现3700+280+19+1=4000个“9”。 附上方法（二），统计讨论法 方法二 第二种方法大家可以看图自己研究一下。 两种方法各有特点，第一种方法思路简单但是过程较为繁琐。第二种方法过程简单，思路一环扣一环。 |
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