基于“错题诊断”的数学复习课教学研究

第一部分 研究背景

复习课，指教师专门引导学生对所学知识进行系统的归纳、总结、消化、理解、巩固和综合运用，从而沟通知识之间的横向和纵向联系，形成知识网络，达到以帮助学生巩固所学知识、培养学生解决问题能力为主要任务和目的的授课形式。复习课是数学教学中的重要组成部分，据统计，小学阶段的数学复习课至少占教学总课时的1/3。虽然我市数学教师已有复习课教学的经验，但通过听课、调查、访谈等途径发现，目前小学数学复习课教学还存在诸多问题，如“冷饭重炒”“忽视学生发展”等。

“错题诊断”，指教师对学生的错题进行收集，并引导学生分析错误的原因，从中找出最合适学生的教学策略，为开展复习课教学提供帮助。

基于以上认识，我们认为开展“错题诊断”这一课题研究，能有效提高小学数学复习课教学的有效性。

第二部分 研究行动

一、以错题征集为平台，开展错题研究

1.错题征集，积累复习素材

收集错题，指通过一定的程序，科学采集学生出现在作业本、数学课本、测试卷等资料上的错题。收集错题的对象主要有两类，一类是教师，另一类是学生。教师收集错题是为了弄清楚学生出现错误的原因，为改进教学提供依据。学生收集错题是为了更清楚地弄懂自己的错误，防止下次再犯同样的错误，提升自己的反思能力、审题能力，养成良好的解题习惯。

本文所指的错题，主要来源于学生的作业本、数学课本、测试卷以及课堂学习中出现的错题（如图1），其中以作业本和测试卷上的错题为主。

图1

2.错因归类，把握复习方向

将收集的错题整理后，教师可根据以下几个方面（如图2）进行归类。但要注意的是，有时学生的错误往往出现两种或两种以上的原因，那么就要以主要的原因为基准，纳入该类原因的分析之中。在错题分析、归类过程中，我们采取以下的分析策略。

图2

（1）教师自己分析错题。

分析学生的错题，教师要遵循针对性、客观性、准确性等原则，努力弄清楚学生出错的原因，不要在猜测的基础上做出伪分析，这样会导致采取的诊断措施不具有针对性和实效性，甚至可能还会伤害学生。因此，教师一定要做到探寻根源、明晰问题、准确归类，这样对学生的错题分析才会入木三分。

案例：对学生学习《运算定律与简便计算》（四年级下册）单元的错题统计（略）

科学合理的薪酬管理能够有效的提升企业员工的生活质量。企业在进行全面的薪酬管理过程中，提升员工生活质量的关键在于对员工支付的福利，这些福利主要包括为员工提供的工作餐、给员工提供住宿公寓以及购买社保等，这些非现金的支付方式却可以为员工提供良好的工作环境，有效的减少了员工安心工作的后顾之忧，提升可员工的生活质量，使其能够在工作中投入更多的精力。

分析：统计后发现，学生错误的原因主要集中在以下几个方面：第一，思维定式影响，表现为按照固定的思维模式去解决新问题。如751-199=751-200-1，学生就是受思维定式的影响，将199看作200-1进行计算，导致出现错误。第二，注意力特点的影响。小学四年级学生由于年龄的原因，对算式只会凭第一感觉去计算。如138+62-138+62=（138+62）-（138＋62）=200-200=0，为什么会有学生这样计算呢？这是因为学生发现哪些数字可以凑整，就不管三七二十一，先凑整再计算，从而导致不会从整体上观察算式的特征后再计算。第三，强信息干扰。从学生的错误中不难发现“张冠李戴”“乱点鸳鸯谱”的现象，如2×（18×250）=（2×18）×（2×250）=36×500=18000、540÷45=540÷9+540÷5=60+108=168、480÷（20+40）=480÷20+480÷40=24+12=36 等，主要是学生不理解乘法分配律所致。甚至有学生自己都问道：“乘法有分配律，除法怎么会没有呢？”

（2）引领学生分析错题。

对学生而言，分析错题可从出错的原因进行分析，如审题不慎、解题方法不对、知识点未能融会贯通、书写不规范等，这些错误的原因符合学生实际。学生的自我分析，可以口头表达的方式向同桌叙述，也可以书面表达的方式来记录，如日记等，力求简洁明了，不可烦琐，否则学生就难以坚持，从而增加学生不必要的负担。

案例：通过日记来反思

错误：数位没有对齐。

分析：由于学生没有仔细观察，错把2 当作20 来计算，导致出错，从中也可以看出学生对“相同数位对齐”没有真正理解，且数感较弱。因此，教师可以组织学生进行辨析：“如果是计算2+45，2 应该写在哪一位上？如果2 写在十位上，个位应该怎样改？”然后要求学生写反思日记，加深学生对错误原因的认识。

二、立足学生学习实际，开展“错题诊断”复习课教学模式研究

在数学学习中，学生的认识必然经历深化和发展的过程，其中包括出现一定的错误。这些体现学生认识能力和知识水平的错误，正是数学复习课教学应引导学生梳理、巩固和强化的重点。基于“错题诊断”来进行复习教学，能最大限度地达到复习课查漏补缺的作用和效果。那么，数学复习课中，教师如何适时地运用学生的错题进行教学呢？经研究发现，从错题收集的主体来分类，可分为教师收集和学生收集两类。

1.以教师为主体收集错题的复习课教学模式探索

a) 在PLC梯形图程序设计软件里，需做如下设置：打开系统块设置窗口→通信端口设置→PLC地址：2→最高地址：31→波特率：19.2 kbps。将程序重新下载至PLC中。

在以教师为主体收集错题开展复习课教学模式的研究过程中，从呈现错题的时间，可分为引入、课中、课末三个不同阶段。这是根据错题的不同类型，选择不同的时间段呈现，以发挥不同的教学价值和作用。

（1）引入——明确目标。

复习课教学中，教师先呈现学生知识前测或错题本中反馈的信息，让学生自主寻找知识的缺漏处和能力的薄弱点，然后揭示本节复习课的教学重点，引导学生针对性地进行查漏补缺。如课题组在研究《平面图形的周长和面积的整理与复习》的知识前测时发现，学生对于图形的周长和面积公式掌握得很好，但在组合图形中容易混淆周长和面积这两个概念。因此，复习课中，教师就要减少复习基本图形的周长和面积公式，重点强化和突出组合图形中面积计算的策略与运用。此外，课题组还用此方式研究了《式与方程的整理与复习》《时、分、秒的整理与复习》等内容的教学，并在此基础上提炼出学生错误比较明显的“错题诊断”引入式的复习课教学模式，即“统计引入，明确目标——重点梳理，温故知新——针对练习，巩固提升”。

案例：《平面图形的周长和面积的整理与复习》教学

计算过程中，在确定相应于荷载准永久组合的基底附加压力时，要考虑在荷载准永久组合时的基底压力、地下水情况、基础埋深和基底以上土层分布情况，遗漏哪一点都会使变形计算不准确，所以设计人员提供的资料一定要全面、准确。

一、统计引入，明确目标

师：（出示前测题）回想一下，你觉得哪几道题比较容易出错？

从其他15个行为关联度较大的关节点中提取14个角度值,包括上肢角度特征和下肢角度特征,在此基础上增加了部分关节点向量与x,y轴所成的11个角度特征[6-7]。上肢角度主要表示手臂的行为,下肢角度特征主要表示腿部的行为。对于部分关节向量与x,y轴夹角表示人体在可视距离内与Kinect的偏离程度,比如左臀部与右臀部向量与y轴所成的夹角定义为αID_Y。本文一共提取了25个这样的角度特征,所有关节角度如表1所示。

集叶袋是由网孔基本尺寸为1mm、直径0.355 5mm的不锈钢钢丝网制成，既不影响透风，又能起到收集烟苗碎叶的作用;使用时套在出料口上，待碎叶收集到集叶袋的50%以上时，可清空再次循环使用。

1.呈现前测统计数据。

本研究发现，干预1学年后，儿童体力活动水平有明显改善，儿童进行休闲性体力活动时间明显增加(469.31±345.89 min vs 563.10±345.88min，P=0.005)。体力活动水平不足(<180min/周)的比例明显下降(P=0.003)。尤其是每周体力活动时间≥300min的比例明显增加(P=0.029)。

师：你发现了什么？

2.呈现典型错题，分析原因。

师：我们来看一看出现错误较多的题目，你觉得这节课我们需要重点梳理什么？（生答略）

师：（小结）要正确区别图形的周长和面积，能灵活运用公式进行计算。

二、重点梳理，温故知新

1.快速梳理：我们学过哪些图形的周长和面积计算公式？请说完整。

首先，将样品的拉曼光谱图与聚丙烯(PP)的标准拉曼光谱图(见图2)进行比对，PP类塑料材料的拉曼光谱主要有809 cm-1、841 cm-1、971 cm-1、1 149 cm-1、1 166 cm-1、1 322 cm-1和1 451 cm-1几个主要特征峰[7]。选取22#样品，通过对比发现，样品在400 cm-1、811 cm-1、975 cm-1、1 040 cm-1、1 153 cm-1、1 331 cm-1、1 461 cm-1处的特征峰(见图3)符合聚丙烯的标准拉曼光谱图的特征峰，由此可以认定22#样品主要为聚丙烯(PP)。

辨析：为什么图形的周长公式和面积公式不一样？它们有什么不同？

2.重点讨论：这么多的面积公式，我们能不能少记一些？你觉得哪些图形的面积公式可以不用记？四人小组讨论一下。

3.交流提升：这几个图形的面积公式，你准备记哪些？能不能只记住梯形的面积公式，然后用梯形的面积公式算出其他图形的面积？（引导学生建立知识网络）

本研究仅对某地区海勤人员开展了调查研究，样本量相对较小，有待在多个不同地域不同海勤单位开展多中心大样本研究，进一步验证 SF-36生命质量量表对于海勤特殊人群的适用性及相关的影响因素；同时也可考虑与其他健康生命质量量表用于部队人员的健康生命质量结果进行一致性研究[12-13]，寻求能更好地评价海勤人员健康生命质量的工具。

重点分析：圆的面积公式可以不用记吗？

三、针对练习，巩固提升

路边的香樟正换新叶，蜡质的老叶子纷纷扬扬地飘落下来，安静而舒展地躺在地上，远看去，像一地鲜艳的红花。敦礼不舍得踩碎这些落叶的梦，小心翼翼地尽量挑空的地方落脚。

……

（2）展开——梳理知识。

在研究中，我们发现基于单元教学内容有针对性地选择典型错题，能将本单元的知识点串成线、连成片、结成网。例如，教学三年级《有余数除法的整理与复习》时，我们从余数的概念、有余数除法算式的形式、有余数除法的应用三个维度，收集了学生的三道典型错题，然后通过对错题的分析与交流，帮助学生明晰知识的本质，系统梳理本单元的知识点，达到提升学生数学能力和温故知新的目的。基于这样的研究，我们提炼出了“错题诊断”展开式的复习课教学模式，即“直接引入，回顾知识——错题分析，梳理知识——有效练习，强化提升”。此模式适用于知识点相对集中的单元整理与复习教学，如《分数的初步认识》《因数和倍数》等。

案例：《有余数除法的整理与复习》教学

一、直接引入，回顾知识

回忆：这一单元，我们学习了哪些内容？你认为哪些内容比较难，且容易出错？

二、错题分析，梳理知识

1.谈话：课前老师收集了一些同学们的错题，你们能找出错误的原因并帮忙订正吗？

2.出示要求，合作完成。

（1）四人小组合作，完成错题卡。

出现这种原因是，微课从2011年开始相关的研究持续热门，并且2014年，国务院办公厅发布《特殊教育提升计划(2014-2016年)》，针对特殊教育的研究也相对较多，因此，听障学生微课的研究的相关论文也在2015年达到顶峰，之后微课的研究也稳定下来，因此听障学生的微课研究也有回落。

（2）分析错题：找一找，错误的原因是什么？写一写，该怎么订正？想一想，有什么建议？

（3）派代表汇报。

3.反馈交流，梳理知识。

错题（1）：竖式计算28÷4=6……4。

交流提升：明晰余数的概念，即余数不大于除数。

错题（2）：有13个羽毛球，平均分给5人，每人分到3个，还剩下2个。［13÷5=3（个）……2（个）］

正常组大鼠关节组织结构规整,滑膜无增生,血管无扩张,未见炎细胞浸润;模型组大鼠关节组织结构紊乱,明显水肿,滑膜明显增厚,血管大量增生,可见大量的炎细胞浸润;与模型组相比较,丹溪痛风胶囊低剂量组和高剂量组大鼠关节组织的病理变化均有不同程度的改善,表现为滑膜增生明显减轻,新生的血管数量减少,可见少量的炎细胞浸润。其中高剂量组较低剂量组改善明显。

交流提升：明确关系式的转化，如被除数÷除数=商……余数、除数×商+余数=被除数、被除数÷商=除数……余数。

错题（3）：26 个同学去划船，每条船能坐6 人，要租几条船？［26÷6=4（条）……2（人）］

交流提升：灵活应用，体验余数的应用价值。

有个女麻友还对别人说，这个瓜娃子在电视上好酷呀，要是我年轻十岁，肯定嫁给他。旁边有人调戏她说，小心牛黄丸在床上把你弄散架了哈，嘿嘿……

三、有效练习，强化提升

……

（3）练习——巩固内化。

数学复习课，教师应安排充足的习题让学生进行巩固性训练。那么，对于复习课上的习题，教师该如何去评讲呢？哪些习题需要详细分析，教师必须做到心中有数，这样才能利用学生的错题进行针对性讲评。由此，我们形成了“错题诊断”练习式的复习课教学模式，即“激活知识，梳理建构——自主整理，建构网络——错题反思，针对练习”。例如，教学《运算定律和性质的整理与复习》时，我们精选三道错题让学生进行分析。在分析过程中，学生不仅进一步理解算理，而且明白“错误是不可避免的，错误是要付出代价的，所以我们要珍视错误，减少犯错”。此模式可以广泛地应用于突出和强化基本运算技能的整理与复习课，如《万以内的加法和减法的整理与复习》《多位数乘一位数的整理与复习》《除法是两位数除法的整理与复习》等。

2.以学生为主体收集错题的复习课教学模式探索

学生是学习的主体，所以除了教师收集错题外，还可以让学生自己收集错题，旨在更加凸显和关注学生的差异教学。

（1）借助讨论，剖析错题，促有效复习。

这类以错题为载体的复习课，重在引导学生课前利用错题本进行复习内容的错题整理、分类，然后课中利用小组合作学习等方式，让学生交流讨论典型错题、分析讲解，课末再全班进行交流。这样在正确与错误的探究中议错、辨错，使学生不仅“知其错，而且知其所以错”。只有对错题进行理性反思、辨别异同，才能避免所学知识出现模棱两可的现象，从而深化对所学知识的理解。同时，这样有利于教师关注学生学习的重、难点，从而进行有针对性的复习教学，提高学生复习的效果。由此，我们形成了“错题诊断”合作式的复习课教学模式，即“自主梳理，知识成网——自主摘录，分析错题——讨论交流，突破难点——总结归纳，拓展提升”，这一模式比较适合错题类型相对集中的整理与复习教学。如三年级下册《面积的整理与复习》教学，学生的错误比较集中在“面积和周长概念混淆”“不会选择合适的面积单位”等知识上。因此，教师可以通过“错题诊断”合作式的复习课教学模式，在学生讨论中加以引导，使学生明晰面积和周长之间的区别与联系，促进对所学知识的理解与掌握。

（2）一对一辅导，查漏补缺，促有效提升。

这类复习课基于学生对错题的自主整理，即让学生课前自主整理错题本，进行分类并摘录自己不能解决的错题，然后课中以提问的方式来解决。这类复习课教学模式更加关注学生间的个体差异，旨在让不同的学生根据自己的实际学习情况来查漏补缺。同时，这样可充分发挥不同层次学生的作用，即让会的学生做“小老师”，与不会的同学互帮互助，进行一对一的辅导，从而促进全体学生学习能力的提升，由此，我们形成了“一对一”诊断式的复习课教学模式，即“自主摘录，分析错题——提问求助，查漏补缺——自主梳理，知识成网——总结归纳，拓展提升”，这一模式比较适合错题较分散、知识层次性较强的整理与复习教学。例如，《数的整理与复习》这一单元的知识点比较多，学生常出现以下错误：概念模糊不清，如质数不会判断等；分类不明，如质数、偶数、合数、奇数等概念混淆；分解质因数掌握不好……复习教学中，简单的问题可让学生以小组合作的形式解决，小组合作解决不了的问题可向全班提出，师生一起交流解决。在交流过程中，教师应引导学生梳理知识点，帮助学生明晰概念之间的区别和联系，形成知识网络。在课的最后环节，教师可再引导学生对所学知识进行适当的延伸与拓展。

第三部分 成果与成效

一、构建切实可行的系列错题管理策略

在课题研究中，我们发现错题管理是相当重要的策略，能有效引导学生整理错误的类型，反思错误的原因，使学生掌握适合自身特点的纠错策略，为“错题诊断”的复习教学奠定坚实的基础。经过不断的实践与改进，我们形成了以下几种错题管理策略（如图3），实现百花齐放、春色满园的目的。

图3

二、形成操作性强的“错题诊断”复习课教学模式

在开展课堂实践研讨的基础上，从教师和学生两个主体出发，提供“错题诊断”的素材分类（如图4）。从教师这一主体，提炼出以教师为主体收集错题的复习课教学模式，里面又细化为从课前、课中、练习三个阶段引入错题教学；从学生这一主体，根据学生间的个体差异，提炼出以学生为主体收集错题的复习课教学模式，由于复习内容的不同，学生错题归因的差异性和个体需要被关注的程度不同。这些模式的操作性强，适用于不同的复习知识点、不同的学生层次，可供教师借鉴和思考。

图4

三、促进师生共同成长

在错题研究中，教师和学生收集错题、整理错题、分析错题、改正错题，共同得到了发展。具体表现如下：

易非不知道田有园这句话里包含的到底是表扬还是讽刺，她什么也没说，沉默了半天，才问：“你说，我这么做对吗？我该怎么做？”

1.学生的综合能力提升明显

通过对错题的收集和分析，促进了学生纠错能力的提高，也发展了学生的元认知能力、数学思维能力，深化了学生对所学知识的理解，从整体上提升了学生的综合能力。

（1）提高学生的元认知能力。

元认知是近二十年来西方心理学和教育学领域提出的一个新概念。认知理论和我们的研究表明，通过对错题的分析、纠正，可以促进学生元认知能力的发展，且通过反思错题，能更好地降低学生重复出错的概率。这是因为教师在平时教学中有意识地引导学生对解题过程进行回顾、反思、评价，不断促进学生元认知能力的发展和提高，实现认识上的“知其然，又知其所以然”。

（2）深化学生对所学知识的理解。

在数学复习课中，本课题组的教师常常会根据学生的错误进行教学，这样对学生理解所学知识是有帮助的，因为错题是理解知识的最好资源之一，用得好有很大的促进作用。

（3）提高学生的数学思维能力。

学生学习出现错误的原因往往不止一种，除了理解知识的原因外，还有与数学素养紧密相关的一些原因，如解题能力、交流能力、推理能力等。因此，教师引导学生对收集的错题进行分析和反思，给出合理的评价和诊断，对提升学生的数学思维能力有很大的促进作用。

2.教师的实践能力提升明显

学生的错题对教师来讲，有很大的利用价值。本课题组教师通过对学生错题的收集和分析、反馈和反思，不仅深化了对教材的解读，而且更清楚地弄懂了学生错误的原因。

（1）深化对教材的解读。

将学生的错题作为教学资源，使本课题组的教师不仅深刻理解了数学教材，而且对数学知识之间的联系和区别有更清楚的认识。通过两年的研究发现，参与本课题组研究的教师对数学的本体性知识有更深刻的理解，能更多地从学生与教材的角度，对教材和课程标准进行多维度的解读。

（2）提升反思、科研等能力。

通过对学生错题的分析，本课题组教师不断地反思自己的学生观、学习观和教学观，从而提升自己的反思能力。两年时间，本课题组教师在省级以上刊物发表与课题相关的论文20 多篇，平均每人4 篇，县级以上获奖论文多篇，执教了多堂复习教学的公开课、讲座等。

（3）形成正确的“错误观”。

据研究发现，教师对待学生的错误有以下三个层次：层次一，教师对学生的错题虽然进行讲解，但若只是简单地告诉学生正确答案，这是最低层次；层次二，教师虽然对学生出现的错题进行透彻讲解并分析原因，注重学生的学习过程，但这样的行为若处于间断状态，也就是遇到一道错题讲解一道错题，这是合格层次；层次三，教师透彻讲解学生出现的错题，并有意识地把这种间断行为变成连续行为，不断积累错题资源，拥有自己的错题库，还在适当时为学生创设情境，利用错题进行有效教学，这是最高层次。经过两年的“错题诊断”，发现参与本课题组研究的数学教师均能达到层次三的水平，能对学生出现的错题进行整合、优化，做成“小学数学学生错题集锦”，并能分单元罗列错题，写出原因分析与提示。这充分说明，参与课题组研究的数学教师已初步形成了正确的“错误观”。

总之，小学数学复习课要真正上好、上出实效并不容易，需要教师根据学生的实际学习情况不断探索、不断总结，才能使复习课有趣、扎实，才能使学生学有所得，才能使复习课充满活力与生机。