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题目 在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点． (1)当⊙O的半径为2时 ①在点P1(1/2，0)，P2(1/2，√3/2)，P3(5/2，0)中，⊙O的关联点是________________； ②点P在直线y=-x上，若点P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围； (2)⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B，若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围。 解析： (1)①我们先要理解“关联点”的定义，图形M在第1小问中指⊙O，只需要判断P1-P3到⊙O最近的距离是否小于或等于1即可，通常情况下是作该点与点O所连直线，看它与圆周上两个交点较近的一个是否小于等于1，可作坐标系中的⊙O以及相应的点来计算判断，如下图： 由图中所计算结果，可判断关联点为P2和P3 ②根据“关联点”定义，我们可在第二象限内找到点P和点P'符合要求，分别向x轴作垂线，利用构造的等腰直角三角形求出这两个点的坐标，它们横坐标之间的范围一目了然，同理，在第四象限内也有类似的两个点Q和Q'，因此符合条件的范围有两段，如下图： (2)本题思考的难点在于“线段AB上所有点都是⊙C的关联点”，不妨先将圆向左拉远点(当然向右也行)，慢慢想像它向右移动，什么时候能让线段AB上所有点离圆周上的点距离小于等于1呢？我们可以在⊙C外再作一个半径为3的虚线大圆，只要位于这个虚线大圆与⊙C之间的环形中，这里的点均为关联点，同理，在⊙C内作半径为1的虚线小圆，位于虚线小圆与⊙C之间的环形，同样也满足关联点条件，因此当虚线大圆经过点A时，无疑整条线段上的点全部都满足关联点，“好运”开始了，此时点C坐标为(-2，0)，如下图： 然后我们继续让⊙C向右移动，只要线段AB上所有点全部位于两个虚线圆之间，所有点均为关联点，但当虚线小圆与线段AB相切时，“好运”结束了，此时作CD⊥AB于点D，△ACD为等腰直角三角形，CD=1，可计算出AC=√2，因此点C坐标为(1-√2，0)，于是其横坐标范围可确定一部分，如下图： 继续让⊙C向右移动，当端点A接触到虚线小圆时，“好运”再次到来，线段AB再次全部位于圆环内部，此时⊙C恰好经过点O，此时点C坐标为(2，0)，如下图： 继续向右移动，线段AB的端点B触及虚线大圆，“好运”又结束了，我们连接BC，在Rt△BOC中利用勾股定理求出OC的长，此时点C坐标为(2√2，0)，如下图： 综上所述，在⊙C由左至右的移动过程中，只要线段AB全部位于两个虚线大圆的虚线小圆之间，则所有线段上的点均为关联点，相应点C的横坐标取值范围为-2≤x≤1-√2和2≤x≤2√2 |
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