为求通项插上联想的翅膀

文章摘要：数列的学习是以等差数列和等比数列的学习为基础，研究数列往往是从研究数列的通项公式开始，数列的通项公式是解决数列问题的关键。广泛联想，变化代换的结果，可以积累更多有益的信息，提高思维能力，发展的逆向思维。

关键词：等差数列和等比数列、通项公式、变化代换。

为求数列通项的插上联想的翅膀

　　数列的学习是以等差数列和等比数列的学习为基础，研究数列往往是从研究数列的通项公式开始，数列的通项公式是解决数列问题的关键。

在学习等差数列和等比数列以后，如何借助等差数列和等比数列的定义，求某些数列的通项。

这里首先看这样一道例题。

例1.    观察数列：1，2，3，… 写出该数列的一个通项。

其实写出这个数列的一个通项很容易，.但是从题意可以看出，这个数列可以写出若干个通项。如何把若干通项特征展示出来，关键在于前三项分别等于1，2，3的同时，而三项之后是有区别可变化实质，如

      ，其中的任意函数。

的任意特征，使我们真实感到满足条件的通项的不惟一性，且是无限的。求数列的通项，不仅仅是在观察求通项时可以联想，在已知递推式求通项时也可以进行更深入的联想，这里从下面一道例题说起。

例2． 已知数列满足，=1,=0,求数列{}的通项公式。

　　分析：求解数列的通项公式，就要思考如何与已经学过的等差数列或等比数列建立对应关系，从=0出发，进行如下变形。

　　,等式两边同除以得： -2

可知，数列为等差数列。

    解：由=0变形，　,等式两边同除以得：

                          -2

       可知，数列为等差数列，且以为首项，-2为公差。

        =1+（-2）（=-2，故.

从整个思考过程看，解题的思考关键是变形的过程，这一过程书写起来很简单，但形成这一思考结果又是何等艰难，之所以难，是因为头脑中积累的信息不够，为增加头脑中的信息含量，我们可否作这样的探索，为求通项插上进行联想的翅膀。

    如果为等差数列，有，则或；

    如果为等差数列，有，则；

    如果为等差数列，有，则；

　　类似的，我们任意变化代表第n项的形式，就可以得到不同的结果，这结果无疑为今后的解题思考过程提供可应用的信息。我们还可以对等比数列的定义作如下探索。

如果为等比数列，有，则；

如果为等比数列，有，则；

如果为等比数列，有=，则

；

…………

可以类似的不断改变等差或等比数列定义中的，将代换定义中的，并将等式进行适当的变形，就会变成一道求数列通项的数学信息。在求某些数列通项的时候，如果能够建立起储存信息与求解通项问题的链接，问题的求解就不再成为困难。

例3.    在数列中，，，求数列的通项公式.

分析：将已知与信息比较，取倒数得，再与信息，可凑出，找到求解的方法。

解：由取倒数得，.

令得，两边同时减得：

，，

 是以为首项，-2为公比的等比数列，.

整理得，。

可以看出，这样广泛联想，变化代换的结果，可以积累更多有益的信息，提高思维能力，例3就是很好的例证。

从心理学的角度看，一切联想离不开头脑中已有的印象或烙印，联想是以丰富的背景作依托，代换变形恰恰是强化背景储存信息的过程。从思维的方法上看，这是一种在原有的基础上，发散的逆向思维，而这一逆向的思维变为求通项插上了联想的翅膀。