从毕达哥拉斯定理到费马大定理-数学专题

这是JL和F与您共同迭代的第366天。

今天与您分享的内容来自于《吴军·数学通识50讲》。

我们前面讲了数学的预见性，以及数学思维的用处，但是这讲我想和你谈谈数学的局限性，大家可能会有一个疑问，就是这种局限性是来自于我们自己的数学知识不够，还是来源于数学本身的局限性呢？

应该讲这两方面的原因都有，第一部分因素在大家听完这门课后会补上很多，不用担心；第二部分则是我们这一讲要讲的内容。我们有必要了解数学本身的局限性，才能更好地使用它的原理和思维方式。今天我们还是从毕达哥拉斯定理的推广说起。

在几何上有很多整数组满足毕达哥拉斯定理，它们就是勾股数，比如（3，4，5），（5，12，13）等。从代数上解释勾股数，就是方程a^2+b^2=c^2的整数解。

当然，人类总是很好奇，人们就在想，如果上面方程中的平方变成立方，甚至任意N次方，它还有整数解吗？比如，是否有三个整数a，b，c，使得，a^3+b^3=c^3？

这个问题困扰了人类几千年。后来有一个叫费马的数学爱好者就提出一个假说，说除了平方的情况，其他更高次方的方程都找不到整数解，它被称为费马大定理（或者费马最后定理）。

虽然它被称为定理，但数学家们只是把它看成是猜想，或者假说，因为没有证明。我们前面讲到，猜想，哪怕用很多数据验证过了，只要没有证明，就无法成为数学大厦中的一块砖，就无法在它的基础上搭建新的东西。

因此，在费马之后的几百年里，很多数学家都试图证明它，但是都不得要领。费马自己说他已经证明了这个定理，只是那张纸不够大写不下，但后人认为是费马搞错了。

于是费马大定理就成了一道跨越了三个多世纪的超级难题。直到1994年，才由著名的英国旅美数学家怀尔斯证明出来，而这个过程也是一波三折。

1986年，怀尔斯在做了十多年的准备后，觉得证明费马大定理的时间成熟了，终于决定将全部精力投入到该定理的证明上了。为了确保别人不受他的启发率先证明了这个著名的定理，他决定在证明出这个定理以前不发表任何关键性的论文。

但是，如果一个人苦思冥想，推导的逻辑错了自己也看不出来，为了避免这种情况的发生，怀尔斯利用在普林斯顿大学教课的机会，不断地将自己部分的想法作为课程的内容讲出来，让博士生们来挑错。

1993年6月底，怀尔斯觉得自己准备好了，便回到他的故乡英国剑桥，在剑桥大学著名的牛顿研究所举行三场报告会。为了产生爆炸性的新闻效果，怀尔斯甚至没有预告报告会的真实目的。因此，前两场报告其实人不多，但是这两场报告之后，大家都明白接下来他要证明费马大定理了。

于是在举行最后一场报告时，牛顿研究所里挤满了人，据估计可能只有1/4的人能听懂讲座，其余的人来这里是为了见证一个历史性的时刻。

很多听众带来了照相机，而研究所所长也事先准备好了一瓶香槟酒。当怀尔斯写完费马大定理的证明时，很平静地说道：“我想我就在这里结束”，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声。这场报告会被誉为了20世纪该研究所最重要的报告会。

不过故事到此并没有结束，数学家们在检查怀尔斯长达170页证明的逻辑之后，发现了一个小漏洞。怀尔斯开始认为这个小漏洞很快能补上，但是后来才发现这个小漏洞会颠覆整个证明的过程。

怀尔斯又独立地工作了半年，但毫无进展，在他准备放弃之前，向普林斯顿大学的另一个数学家讲述了自己的困境。对方告诉他，他需要一位信得过的，可以讨论问题的助手帮忙。

经过一段时间的考虑和物色，怀尔斯请了剑桥大学年轻的数学家泰勒来一同工作，最后在泰勒的帮助下怀尔斯补上了那个小漏洞。由于有了上一次带有乌龙性质的经历，怀尔斯这次有点怀疑自己是在做梦。于是他到外面转了20分钟，发现自己没有在做梦，这才喜出望外。

由于怀尔斯在证明这个定理时已经超过了40岁，无法获得菲尔兹奖，因此国际数学大会破例给他颁发了一个特别贡献奖，这也是迄今为止唯一一个特别贡献奖。关于费马大定理证明过程的更多细节，大家可以听罗辑思维的第85期节目。

那么证明这个古老的数学难题有什么意义呢？这个定理证明过程本身导致了很多数学研究成果的出现，特别是对于椭圆方程的研究。今天区块链技术用到的椭圆加密方法，就是以它为基础的。

在怀尔斯之前，有一批数学家，特别是日本的谷山丰，对这一系列理论做出了重大的贡献，怀尔斯的成功是在他们的工作基础之上的。今天的比特币可以讲完全是谷山丰理论的一次有意义的应用。而在怀尔斯之后，泰勒等人还在不断发展这方面的理论。

对于三个世纪数学家们证明费马大定理的过程，我和大家分享我的三点体会：

今天的数学（指纯粹数学，不是应用数学）真的很难，想在这方面取得突破性贡献不容易，怀尔斯从10岁开始就立志解决这个问题，他努力了30年。他最后的证明长达200页。但是，有了理论，使用它做有意义的事情，还是容易得多。比特币就是一个很好的例子。

数学是世界上最严密的知识体系，任何的推导不能有丝毫的纰漏。怀尔斯差点因为一个小的疏忽毁掉了整个工作，希望通过这一点，大家对数学的严密性有所体会。

数学走到今天这一步，是在一个个定理的基础上一点点搭建起来的，而今天的成就，又为明天的发展奠定了基础，这样数学就获得了可叠加的进步。

毕达哥拉斯定理是，a的平方+b的平方=c的平方的情形。费马大定理是，a的N次方+b的N次方=c的N次方的情形。因此，前者是起点，后者是一个普遍情况的延伸。接下来，如果我们沿着毕达哥拉斯定理和费马大定理继续往前拓展，会是什么情况呢？

比如任意一个多项式方程2x^2 + 3 y^3 = z^4，或者 x^2 + 3 y^3 - w^5 = z^4，请问它们有没有整数解？这个问题就是著名的希尔伯特第十问题（简称第十问题）。

对于任意一个多项式方程，我们能否在有限步内，判定它是否有解？

对于一些特例，我们知道有整数解，比如x^2 + y^2 = z^2就有；对于另一些特例，我们知道没有整数解，比如费马大定理所描述的情况。

但是，对于更多的，一般性的不确定方程，我们不仅不知道怎么解，甚至无法判断一个方程有没有整数解。因此，1900年在巴黎举行的国际数学大会上，希尔伯特在提出23个著名的数学问题时，把它列为了第十个。

第十问题其实隐含了一个更为深刻的认识论问题，就是对于大部分数学问题，我们能否找到答案？到目前为止，我们所能解决的数学问题其实只是所有数学问题中很小的一部分。

当然，很多人会说尚未找到答案不等于没有答案。第十问题实际上在直接挑战数学的边界，也就是说，通过数学的方法，我们可能根本无法判断一些问题的答案存在与否。如果连答案是否存在都不知道，就更不用说通过数学的方法解决它们了。

这样就为数学划定了一个明确的边界。从1900年之后，特别是在二战之后，欧美不少数学家致力于解决这个问题，因为这也涉及到计算机所能处理问题的边界。

第十问题的解决颇具戏剧性。在上个世纪60年代，被认为最可能解决这个难题的是美国著名的女数学家朱莉娅·罗宾逊，她从博士一毕业就致力于研究这个问题，也取得了很多突破性的进展。

虽然罗宾逊因为这方面的贡献成为了美国科学院第一位女院士，美国数学学会第一位女会长，她离解决这个问题最终还是差几步。1970年，俄罗斯天才的数学家尤里·马季亚谢维奇在大学毕业后一年就解决了这个问题，证明了这类问题是无解的，从此在世界上一举成名。

纯数学这个学科除了需要一些运气之外，比拼的是人的智力，智力到哪个程度，成就就到哪个水平，这倒不是宿命论，而是说明人要根据自己的特长选择做事。

第十问题的解决其实扑灭了人类的一丝希望，但是也让人类老老实实地在边界内做事情。人类过去常常希望找到一个工程问题的解析解，即答案是以一个公式的形式存在，这样套入任何数字，就得到了具体的答案。

但是，很多问题最后证明找不到严格推导出来的解析解，当然这也不妨碍大家在工程上可以使用近似的数值解，解决实际问题。认清这一点，做事的方法也就改变了。

搞流体力学和控制理论的人都知道，那里面有很多复杂的非线性方程要解决。在上个世纪，美苏两国走了两条不同的道路。前苏联因为数学水平较高，而计算机技术很落后，因此他们习惯于下硬功夫做很难的数学题，找到非线性问题的解析解。

而在美国方面，数学水平高的人没有前苏联多，但是计算机技术先进，因此他们习惯于把很麻烦的非线性问题变成很多计算量大，但是却很简单的线性问题（或者其它数值计算问题），找到工程上能接受的近似解。

那么谁取得的效果好呢？从结果来看，美国似乎更好些。关于什么是线性方程，我们后面会讲到，这里大家记住线性方程简单，非线性方程非常复杂即可。

要点总结：

我们介绍了费马大定理的来龙去脉，它往前和毕达哥拉斯定理的关系，往后和希尔伯特第十问题的关系。我也和大家分享了我对这个定理被证明过程的体会。

我们通过希尔伯特第十问题介绍了数学的边界，这是一个硬的边界，大家不要试图逾越。但是数学的边界有些时候不是我们解决问题的边界，因为世界上除了数学的方法，还有其他方法。

当理解了数学的严谨性之后，不经感叹：我们的认识以及所有能够解决的问题真的太少了。