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你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》，我们进入新模块概率论、统计学和博弈论的学习。课程进行到这里，其实遵循着一个暗含的线索，从不确定到确定，再到不确定。 比如前面的几何学、代数学和微积分，我把它们作为数学通识课的内容，因为它们能帮助我们在第一阶段提高认识，几何学通过几个公理和逻辑推演，让我们认识到很多定理，这是从不确定到确定的过程。在代数学中，求出方程的解，显然也是把不确定的未知数确定下来。至于函数则是把变量之间的关系确定下来。 在微积分中，我们对确定性的理解从宏观进入到了微观，当然也可以从微观来确定宏观。微积分的出现，使得人类有了空前的自信，觉得那么细微、短暂的规律都能把握，那么还有什么不能把握的呢？ 到了麦克斯韦的时代，他通过几个非常确定的方程，把看不见、摸不着的电磁场描绘得清清楚楚。这样一来，世界上不存在不确定的事情了，以至于大物理学家普朗克在选择专业时，一度考虑要学习物理以外的学科，因为那个时代的科学家们觉得物理规律都被发现完了，剩下的只是修修补补。 我们知道，后来普朗克恰恰成了带有不确定性物理学，也就是量子力学的开山鼻祖。与此同时，数学的发展也开始注重对不确定性的研究了。从这一讲开始，我们就来讲述揭示不确定性世界规律的数学分支——概率论。 概率论起源最早从数学的角度研究不确定性，寻找随机性背后的规律的人既不是数学家，也不是科学家们，而是赌徒。他们经常需要了解赌局中什么情况更可能出现，以至于好下注挣钱。我在年轻的时候一度痴迷于桥牌，打桥牌就要算牌，算算某张牌可能在谁的手里。 比如黑桃有13张牌，你和你的搭档有9张，对方有4张。最大的两张A和K都在你手里，但是第三大的Q在对方手里。这时你要作一个判断，对方手中的四张黑桃，2-2分布的可能性有多大？如果超过50%，你直接打出A和K，将对方手里的Q砸死即可。但是如果1-3分配的可能性很大，而Q恰好在有三张黑桃的人的手里，你就不能这么打了。 事实上，打桥牌的人基本上背下了主要牌型分布的概率，在打牌时是靠概率趋势，而不是运气。需要说明的是，各种牌型的概率通常和人们的直觉相违背，比如在刚才说的4张牌的分布中，1-3分布要比2-2分布的概率大不少，这就和我们的常识相违背。 在没有概率论之前，算清楚牌型的概率不是很容易，而且绝大多数赌徒会因为凭直觉判断而出错。庄家虽然也算不清，但是因为经验多，他们在长期设赌局的生涯中会不知不觉地统计出来概率分布，因此通常会占到玩家的便宜。 在历史上有明确记载的最早研究随机性的数学家是帕斯卡和费马。帕斯卡就是最早发明机械计算机的那位数学家，他并不是赌徒，但是他有些赌徒朋友，那些人常常玩一种掷骰子游戏，游戏规则是由玩家连续掷4次骰子，如果其中没有6点出现，玩家赢，如果出现一次6点，则庄家赢。 在这个赌局中，由于双方的赢面差不多，不是大家能够凭直觉判断准的，因此玩家并不觉得吃亏，甚至还觉得赢面大一些。但是，只要时间一长，庄家总是赢家，玩家注定是输家。1654年，一位赌徒朋友就向帕斯卡请教，是否能证明庄家的赢面更大？ 帕斯卡经过计算，发现庄家的赢面还真是稍微大一点，大约是52%vs48%。大家不要小看这多出来的四个百分点，累积起来，能聚敛很多财富。在研究赌局概率的过程中，帕斯卡和费马有很多通信，今天一般认为他们二人创立了概率论。 他们二人的工作表明，虽然各种不确定性问题无法找到一个确定的答案，但是背后依然是有规律可循的。至于“52%vs48%”的结果是怎么算出来的，就是这讲我留给你的思考题。 概率论的发展到了18世纪启蒙时代，法国政府债台高筑，不得不经常发一些彩票补贴财政。但是由于当时人们的数学水平普遍不高，发彩票的人其实也搞不清该如何奖励中彩者。 著名的启蒙学者伏尔泰是当时最精通数学的人之一，他算出了法国政府彩票的漏洞，找到了一些只赚不赔的买彩票的方法，赚了一辈子也花不完的钱。伏尔泰一生没有担任任何公职，或者做生意，但是从来没有为钱发过愁。这让他能够专心写作，研究学问。 从18世纪末到19世纪，数学家们对概率论产生了浓厚的兴趣，像法国的伯努利、拉普拉斯和泊松等人，德国的高斯，以及俄罗斯的切比雪夫和马尔可夫等人，都对概率论的发展有很大的贡献。经过他们共同的努力，概率论的基础理论逐渐建立起来，很多实际的问题也得到了解决。 在这些人中，划时代的人物是拉普拉斯。拉普拉斯是一位了不起的科学家，但是却又热衷于当官。他有一个著名的学生叫做拿破仑，靠这层关系他后来当上了政府的部长。不过，他的政绩不太好，因此拿破仑讲，他是一个伟大的数学家，但却是一个不太称职的部长。不过，拉普拉斯一生在科学上的贡献还是非常大的，比如关于宇宙构成的星云说，就是由他完成的。 数学家拉普拉斯 当然他最为人所知的是以他的名字命名的拉普拉斯变换。在概率论方面，拉普拉斯定义了什么是概率，以及它该如何计算。在拉普拉斯之前，人们对“有可能”和“概率大”是分不清的。其实你今天问一些人，买彩票中彩的概率是多少？他依然会说50%，因为只有中彩和不中彩两种情况。 拉普拉斯是如何定义概率的呢?他先定义了一种可能性相同的基本随机事件，也称为单位事件。 比如我们同时掷两个骰子，两个骰子的点加起来可以是从2到12之间的任何正数。那么我问你，这些数出现的概率相等吗？很多人会认为相等，因为从2到12一共有11种情况，每一种情况的概率就是1/11。但是，这11种情况并非基本的随机事件，而是可以拆分为更小的单位事件。 比如两个骰子加起来是5点，里面包含了四种单位事件，即第一个骰子的点数是1，2，3，4，第二个的点数是4，3，2，1。基于单位事件的概念，拉普拉斯定义了古典的概率公式，即 在上面掷骰子的问题中，两个骰子点数的组合有36种，即当第一个骰子是1点时，第二个骰子为1～6点六种情况。当第一个骰子是两点时，第二个骰子为1～6点六种情况，等等，算下来一共是36种。每一种不可再分，都是单位事件。单位事件的概率称为原子概率，在这个例子中，原子概率就是1/36。 如果我们要计算两个骰子加起来是5点的情况，只要数数里面包括了多少单位事件，它里面有4个单位事件，然后我们用4除以总数36即可，这样算下来，两个骰子加起来为5点的概率是1/9。用这种方法我们会发现2点和12点的概率最小，是1/36，中间7点的概率最大，是1/6。因此这11种情况并不是等概率。 根据拉普拉斯对概率的定义，所有可能发生的情况放在一起，构成了一个随机事件总的集合（也称为概率空间）。任何一个随机事件，都是随机事件总集合里的一个子集。 比如掷两个骰子，随机事件总的集合就包含那36种情况。而某个随机事件，比如“两个骰子总点数大于10”，就是其中的一个子集，这个子集包含三个单位事件，即第一个骰子是5点，第二个骰子是6点，或者反过来，两个骰子都是六点。 如果一个随机事件，包含了随机事件空间中所有的单位事件，那么这个事件必然会发生，它被称为必然事件，概率就是1。另一方面，如果一个随机事件不包括随机事件空间中任何一个单位事件，它就不可能发生，被称为不可能事件，概率为零。剩下来的随机事件，概率都在0和1之间，里面包含的单位事件越多，概率就越大，用通俗的话讲，就是发生的可能性越大。 拉普拉斯对于概率论的描述其实有不少漏洞，比如在现实中是否存在着可能性完全相等的单位事件，这本身就是一个大问号。我们知道，没有骰子是完美对称的，因此和骰子相关的概率问题似乎就不存在单位事件了。当然，这还不是拉普拉斯定义中最大的缺陷，他给出的定义本身有循环定义的嫌疑。 拉普拉斯为了说明一个随机事件A的概率，用了等可能性的单位事件这个说法。但是在没有概率的定义之前，等可能性又从何谈起？此外，根据拉普拉斯的定义，要先已知随机事件空间，或者说各种可能性总的集合，比如掷骰子我们需要知道一个骰子有六种结果。 但是对于未来的预测，常常无法把各种随机性都列举出来。比如医疗保险公司无法确定一个60岁的人在接下来的3年里得大病的概率，因为无法知道都可能发生什么意外。不过由于拉普拉斯这种定义大家都能理解，也就暂时不追究其严密性了。 要点总结：随机性是一种自然的属性，我们无法否认它的存在，它导致很多结果变得不确定。但是对于特定的随机试验，它得到什么结果，还是有规律可循的，于是数学家们用了一个概率的概念来描述这种不确定性。虽然人类最初的动机和金钱相关，但是一旦掌握了不确定性背后的规律，就从自发状态进入了自由状态。 下一讲我们就来了解一下有关随机性的规律是什么样的，它们又是怎样被一步步地了解的。我们下一讲再见。——吴军《数学通识五十讲》 |
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