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触碰标题下面一行中“邵勇老师”查看所有文章；触碰“数学教学研究”, 关注本微信公众号(sx100sy)。本公众号内容均由邵勇本人独创，欢迎转发，但未经许可不能转载。特别声明，本人未曾授权任何网站（包括微博）和公众号转载邵勇公众号的内容。每周推送两到三篇内容上有份量的数学文章，但在行文上力争做到深入浅出。几分钟便可读完，轻松学数学。 我们大家都学习过解析几何中的圆锥曲线，我们当然知道其中的抛物线有四种形式的标准方程，它们的顶点都位于坐标原点，但开口方向不同：分别朝向x轴正向，x轴负向，y轴正向，y轴负向。今天我们所讲内容针对的是“开口朝向x轴正向”的抛物线标准方程，即 其中p是一个正数，为焦点F到准线l的距离。我们称其为参数。抛物线有一条对称轴，对下图中所示的抛物线，它的对称轴就是x轴。下文我们说到的轴或轴线就是指x轴，而下文所说的轴的垂线是指与x轴垂直的直线或线段。 今天我要从上面这个图形中挖掘出两个“p”。注意，上图中，确实出现了两个“p”，它们都是p/2中的p，但这两个p是显现的，两个p/2的和等于一个p，这个p就是焦点到准的距离FN。我们要挖掘的是隐藏在图形内部的两个p。 第一个“p” 在抛物线上任意取两点A和B。不失一般性，把它们取在x轴的两侧，如下图所示。 （为了您的阅读方便，我会尽量把文字和配图放到一个屏幕当中，所以，有时图会有重复） 则我们把线段AB叫做抛物线的一条弦。取弦AB的中点，设为M。过点M作弦AB的垂线，与x轴交于点D；过点M作x轴的垂线，垂足为C。那么，我们今天要给您挖掘出的第一个“p”就出现了，它就是CD的长度。即CD=p。如下图所示。用标准的语言描述就是：经过抛物线任意一条弦的中点的轴的垂线及这条弦的中垂线，在轴上截出的线段的长度为不变且等于p。下图中的MC为过点M向轴所作的垂线，MD为AB的中垂线。轴上被夹在这两条直线之间的部分为线段CD。下面我来证明结论的正确性。 设点A和B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）。设弦AB中点M的坐标为（x0，y0），则图中MC就等于y0。我们首先可以得到弦AB所在直线的斜率： 其次，因为点A和B都位于抛物线上，所以它们的坐标都满足抛物线的方程，即 两式相减，得 由中点坐标公式有y2+y1=2y0，所以，代入上式，得 从图中可以看出，弦AB的斜率等于MC/EC，其中MC=y0。显然，直角三角形MEC与直角三角形MCD相似。所以， MC/EC = CD/MC = CD/y0 即 而前面已经得出
比较以上两式，便得出 CD = p 这就是第一个“p”。（注意，上面的推导过程看似是针对AB所在直线的斜率为正的情况，但其实若AB的斜率为负，同样可以推导出相同的结论。） 第二个“p” 如下图所示。PT为抛物线的任意一条切线，点P为切点。过点P作抛物线的法线，即过点P作PT的垂线，垂线与轴交于点Q。我们说线段PQ为抛物线在点P处的法线。再过切点P作轴的垂线PR，其中R为垂足。那么，有结论：RQ的长度等于p。我们定义RQ为与抛物线法线PQ相对应的次法线。次法线是法线在x轴上的投影。用语言描述上述结论就是：在以坐标原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线中，抛物线的次法线的长度等于常数且等于抛物线的参数p。这里的p为上面最开始时所给抛物线标准方程中的p，即焦点到准线的距离。
这个很容易证明。设点P'为切点P在准线上的投影点。那么，根据抛物线切线的定义，点P'与焦点F关于切线对称，从而FP'（图中虚线）与切线PT垂直。而法线PQ当然垂直于切线PT，所以，PQ平行于FP'，所以PQFP'是平行四边形。所以FQ=P'P。而已经有NR=P'P。所以FQ=NR。可以看出，FR是线段FQ与NR的公共部分（注意，有可能点R位于O与F之间，这时FR仍然是两者的公共部分）。那么，两者都减去这个公共部分后，所得亦应该相等，即RQ=NF。NF=p，所以RQ=p。注意，不管点P位于抛物线的什么位置，次法线RQ都等于p。这就是我们挖掘出来的第二个“p”。 以上我们挖掘出了抛物线图形中的两个“p”。这很有趣。但这不光有趣，我们还可以根据这两个“p”，来研究抛物线的作图问题。我们上一期讲过如何从抛物线的四条切线画出抛物线。这一期，我再来讲一讲如何在已知三点及轴的方向的情况下画出抛物线。 在继续讲解之前，下面这两个抛物线的性质是需要您事先知晓的。 （1）从抛物线上一点引切线与法线，它们与轴分别有一个交点，以这两个交点为端点的线段的中点就是焦点F。比如下图中，PT和PQ为抛物线点P处的切线和法线。T和Q为两条线与轴的交点。则线段TQ的中点就是焦点F。这个很好证明，因为∠P'PT=∠FPT（切线的性质）且∠P'PT=∠FTP（内错角相等），所以，∠FPT=∠FTP，所以三角形FPT为等腰三角形。而三角形QPT为直角三角形，焦点F为斜边TQ的中点。如下图所示。
（2）抛物线平行弦中点的轨迹是一条与轴线平行的直线。这个性质从前面已得出的公式即可推知。这个公式是：
公式中的p为定值，又平行弦的斜率不变，所以，由上式，平行弦中点的纵坐标y0也不变，所以中点轨迹就是到轴距离为定值的点的轨迹，这正是一条与轴平行的直线。
好的，今天要讲的作图问题是这样的：我们知道某抛物线上的三个点，并且知道这条抛物线的轴与一条已知直线平行。那么，我们如何利用这些已知条件画出抛物线呢？ 下面我就来给出画法。不是很复杂，请仔细研读，相信您一定会有所收获。 需要事先说明：我们完全可以把已知直线画成水平的，因为若不是水平的，我们可以通过旋转把直线变成水平。三个已知点可以任意，只要这三个点不共线且没有两个点的连线与已知直线平行。然后，我们便完全可以确定出所求作的抛物线是开口向左还是开口向右。我们下面只给出抛物线开口向右的情况，这是因为如果开口向左，我们只要把图形在平面内旋转180度，即可把它转化为开口向右的情况。 已知条件如下图所示。其中点A、B、C为所要作抛物线上的三点，已知直线也已经给出。我们要求作的抛物线的轴线要与这条已知直线平行。
（1）连接AB，取AB中点M。过点M作已知直线的平行线a；过BC的中点N作已知直线的垂线d。设a与d的交点为S。所以，点S一定是与AB平行的某弦（比如叫A'B'，图中没有画出）的中点。那么，这条弦A'B'的中点就与弦BC的中点位于同一条轴的垂线d上。 （2）那么，作A'B'的中垂线c（相当于过S作AB的垂线），则c与d把轴截出长度为p的一段（即前面挖掘出来的第一个“p”）。同理，作BC的中垂线e，则e与d也将把轴线截出长度也为p的一段。设这里所作的中垂线c和e的交点为D。则点D一定位于抛物线的轴上。于是，我们便确定出轴上的一点。有了这个点，又已知轴线与已知直线平行，所以，我们就确定出了轴线。设轴线与轴的垂线d交于点H。则HD的长度就是p。现在，有了轴线，也有了参数p，我们就向作出抛物线迈进了一大步。接下来只要再把焦点的位置确定下来就可以了。
（3）在前面挖掘“p”的时候（第二个“p”），我们曾经讲过，过抛物线上一点所作的法线PQ，过这点所作的到轴的垂线，两者把轴截得的线段的长度为p。那么，因为点P到轴的距离PR是确定的，所以，在轴上点R的右侧作出长度为p的线段，得到点Q，连接PQ，则PQ一定就是点P处的法线。于是，马上也就可以作出过点P的切线。我们在前面还讲过，过抛物线上一点的切线与法线在轴上所截得的线段（TQ），它的中点就是焦点（F）。所以，我们便找到了确定焦点位置的作图方法：过已知三点中的某一点向轴作垂线，这里我们取点B。得到垂线BE，其中E为垂足。在点E右侧的轴上取一点G，使EG=p。连接BG。则BG为法线。于是可以作出点B处的切线。切线与轴交于点T。则线段TG的中点就是焦点F。再作焦点F关于切线BT的对称点P'，则点P'一定位于准线上，所以，准线也就可以确定下来了。如下图所示。
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