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如何学好高中数学,逆袭高考?附各大题型详细方法总结

2019-12-25  186呵呵呵

    初中的时候,一直是班里前几名,但一到高中就不行了。尤其是数学,考了两次试,都不及格,要自闭了……

    数学大题老师全都讲过,但是我就是不会做,而且是无从下手的那种,一道都没拿到分。从初中的前10到宏志班的30开外,真的不甘心。

    我喜欢数学,可为什么一看到题目就懵圈了,很多东西没有记忆方法,记不住,我该怎么办啊。
    初中数学一直前几名,到高中第一次周测数学不及格o(╥﹏╥)o

    上高中后,很多同学都会觉得数学变难了。


    以下是帮大家总结的三角函数立体几何数列圆锥曲线函数与导数等五大模块的学习套路。

    无论你是新高一,还是即将面临高考,这份攻略都妥妥的,希望能给你带来有用信息~

    数学学习,主要涉及两个方面:一个是数学知识,一个是数学方法。
    对于数学的考查,即考查不同题型下,利用恰当的数学方法,把学到的数学知识组合起来,解决不同数学问题的能力。

    所以,学好数学的关键有三点:学习知识把握题型提取方法
    本文的重点在于,通过具体例子,体会不同题型对应不同方法。(基础知识不在此一一列举,大家一定要在平时的学习中注重积累)
    学数学就是一个归纳题型和解题方法的过程。
    高考数学大题考查的包括三角函数立体几何数列圆锥曲线函数与导数
    每类题都有对应的出题套路,每一种套路都有对应的解题方法:
    三角函数

    三角函数的题有两种考法,其中10%~20%的概率考解三角形,80%~90%的概率考三角函数本身。

    1. 解三角形 

    不管题目是什么,要明白,关于解三角形,只学了三个公式——正弦定理、余弦定理面积公式

    所以,解三角形的题目,求面积的话肯定用面积公式。至于什么时候用正弦,什么时候用余弦,如果你不能迅速判断,都尝试一下也未尝不可。

    2. 三角函数 

    然后求解需要求的。套路一般是给一个比较复杂的式子,然后问这个函数的定义域、值域、周期、频率、单调性等问题。
    解决方法就是,首先利用“和差倍半”对式子进行化简。化简成 : 
     

    掌握以上公式,足够了。

    关于题型,见下图:

    立体几何

    立体几何的相关题目,稍微复杂一些,可能会卡住一些人。

    这个题目一般有2~3问,一般会考查某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直,以及求二面角。

    这类题目的解题方法有两种:空间向量法传统法。这两种方法各有利弊。

    向量法:

    使用向量法的好处在于:没有任何思维含量,肯定能解出最终答案。缺点就是计算量大,且容易出错。

    使用空间向量法,首先应该建立空间直角坐标系。建系结束后,根据已知条件可用向量确定每条直线。其形式为AB=(a,b,c),然后进行后续证明与求解。

    箭头指的是利用前面的方法求解。如果有些同学会觉得比较乱,以下为无箭头标注的图。

    传统法:


    在学立体几何的时候,有很多性质定理和判定定理。但是针对高考立体几何大题而言,解题方法基本是唯一的,除了上图中6和8有两种解题方法以外,其他都是有唯一的方法。
    所以,熟练掌握解题模型,拿到题目直接按照标准解法去求解便可。
    另外,还有一类题,是求点到平面距离的,这类题百分之百用等体积法求解。
    数   列
    从这里开始,会明显感觉题目变难了,但是掌握了套路和方法,解决这类题目并不困难。
    数列主要是求解通项公式和前n项和。

    1. 通项公式  

    明确题目中给出的条件的形式,不同形式对应不同的解题方法。


    通项公式的求法有以上8种,着重掌握1、4、5、6、7、8。其实4~8可以算作一种。
    除了以上8种方法,还有一种叫定义法,就是题中给出首项和公差或者公比,按照等差等比数列的定义进行求解。
    但一般情况下,高考大题不会出这么简单的。

    2. 求前n项和 

    求前n项和总共4种方法——倒序相加法错位相减法分组求和法裂项相消法
    遇到求前n项和类型的题目,可以从这四种方法考虑就可以了。

    同样的,每种方法都有对应的使用范围。

    当然,还有课本上关于等差数列和等比数列求前n项和的方法。在此就不列举了,请大家不要忘记。
    圆锥曲线
    高考对于圆锥曲线的考查也是有套路可循的。
    一般套路是:前半部分是对基本性质的考查,后半部分考查与直线相交。
    当你对高考题目积累量足够多的时候,会发现,后半部分的步骤基本是一致的。即:设直线,然后将直线方程代入圆锥曲线,得到一个关于x的二次方程,分析判别式、韦达定理,利用韦达定理的结果求解待求量。
    所以,学好圆锥曲线需要明白三件事。

    1. 三种圆锥曲线的性质
    大家在学习的过程中可以自行总结,以便加深记忆。

    2. 求轨迹的方法

    求动点的轨迹方程的方法有7种,下面将一一介绍。一般情况下,这部分考查的题目不会出特别难。

    a)直接法(性质法)
    这类方法最常见,一般设置为第一问,题干中给出圆锥曲线的类型,并给出部分性质,比如离心率、焦点、端点等,根据圆锥曲线的性质求解a,b。
    b)定义法
    即题目中给出的条件,其实是某种我们学过的曲线的定义。这种情况下,可以根据题目描述,确定曲线类型,再根据曲线的性质,确定曲线的参数。
    各曲线的定义如下:
    到定点的距离为定值的动点轨迹为圆;
    到两个定点的距离之和为定值的动点轨迹为椭圆;
    到两个定点的距离之差为定值的动点轨迹为双曲线;
    到定点与定直线的距离之比为定值的动点轨迹为圆锥曲线,根据比值大小确定是哪一种曲线。



    c)直译法
    顾名思义,就是直接翻译题目中的条件。将题目中的文字用数学方程表达出来即可。

    d)相关点法


    假如题目中已知动点P的轨迹,另外一个动点M的坐标与P有关系。可根据此关系,用M的坐标表示P的坐标,再代入P的满足的轨迹方程,化简即可得到M的轨迹方程。

    e) 参数法

    当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,可以先找到x、y与另一参数t的关系,再消去参变数t,得到轨迹方程。

    f)  交轨法


    若题目中给出了两个曲线,求曲线交点的轨迹方程时,应将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程。

    g)点差法


    只要是中点弦问题,就用点差法。

    3. 与直线相交

    这道题目一般为必考,而且每年形式基本都一样。
    大概是这样:有一条直线,与这个圆锥曲线相交于两个点A,B,问balabala……

    首先,从理论上说说这道题的解题步骤:
    步骤1:先考虑直线斜率不存在的情况。求结果。(此过程仅需很简短的过程)
    步骤2:设直线解析式为 y=kx+b(随机应变,也可设为两点式……)
    步骤3:一般,所设直线具有某种特征,根据其特征,消去上式中k或b中的一个。
    步骤4:联立直线方程和圆锥曲线方程,得到:

    步骤5:求出判别式△ ,令 △>0(先空着,必要时候再求 △>0 时的取值范围)
    步骤6:利用韦达定理求出 x1x2,x1+x2(先空着,必要时再求y1y2) 
    步骤7:翻译题目,利用韦达定理的结果求出所求量。

    我们可以以下面的题目为例,看一下解题步骤。

    如果考试时间充足的话,计算量最大、最消耗时间的地方,也是需要计算的。如果时间来不及,可以暂且放下。
    函数与导数

    这一类题型以求导然后分析函数为主。导数这部分的步骤是比较固定的。

    导数与函数的题型,大体分为三类。

    1. 关于单调性,最值,极值的考查。

    2. 证明不等式。 

    3. 函数中含有字母,分类讨论字母的取值范围。

    无论是哪种题型,解题的流程只有一个。如下图所示:

    例题比较简单,但是注意两点:一是任何导数题的核心步骤都是以上四步;二是时刻提醒自己定义域。
    上面的例题属于第一类题型。
    第二类题型,证明不等式。需要先移项,构造一个新函数,可以使不等号左边减去右边,构成新函数。
    利用以上四个步骤,分析新函数的最值与0的大小关系,可以得证。此为作差法。
    还有一种方法叫作商,即左边除以右边,其结果与1做对比。
    不过此方法不建议使用,因为分母有可能为0,或者正负号不确定。

    除此之外,还要注意逻辑。如果证明 A ≤ B,新函数设为 A - B,那么,需要 A - B的最大值小于等于0。

    第三类问题,求字母的取值范围。先闭着眼睛当成已知数算,算完以后列表,针对列表中的结果进行分情况讨论。(一般,题目都会写明字母不为0)

    以上就是总结的题型和解题套路,当然并没有把所有的题型总结完,只是提出一个思路和解方法,大家可以参考以上模式自行总结。
    最后,重申三点:记住基础知识素材总结题型提取解题策略

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