高中数学：根据实际问题选择函数类型

【知识点的知识】

1．实际问题的函数刻画
    在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y=kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y=kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y=

k

x

（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y=a·bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y=mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y=a·xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y=ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．

【典型例题分析】

典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（　　）
A．y=0.025x    B．y=1.003x C．y=l+log7x     D．y=

1

4000

x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%=

1

4

x，

A中，函数y=0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；

B中，函数y=1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；

C中，函数y=l+log7x，易知满足①，当x=1000时，y取最大值l+log71000=4-lg7＜5，且l+log7x≤

1

4

x恒成立，故满足公司要求；

D中，函数y=

1

4000

x2，易知满足①，当x=400时，y＞5不满足公司要求；

故选C

点评：

本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．

典例2：

某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3-x=

k

t+1

（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：

“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：

（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；

（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

（注：

利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

分析：

（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．

（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．

解答：

解：

（1）由题意：

3-x=

k

t+1

，

且当t=0时，x=1．

所以k=2，所以3-x=

2

t+1

，…（1分）

生产成本为 32x+3，每件售价

3

2

 ( 

32x+3

x

 )+ 

t

2x

，…（2分）

所以，y=[ 

3

2

 ( 

32x+3

x

 )+ 

t

2x

 ]x−(32x+3)−t…（3分）

=16x-

t

2

 + 

3

2

=− 

32

t+1

 − 

t+1

2

 +50，（t≥50）；

…（2分）

（2）因为

32

t+1

 + 

t+1

2

 ≥8  当且仅当

32

t+1

 ＝ 

t+1

2

，即t=7时取等号，…（4分）

所以y≤50-8=42，…（1分）

答：

促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）

点评：

本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．

【方法点评】

用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y=f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y=f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．