如何理解三大微分中值定理？

罗尔定理，太难了?

拉格朗日定理，太难了?

柯西中值定理，太难了?

微分中值定理难吗？

如果你觉得难，那你一定得看看以下文字了，简明扼要，通俗易懂。

前言

微分中值定理是很重要的基础定理，很多定理都是以它为基础进行证明的。

1 罗尔中值定理

1.1 直觉

往返跑：

可以认为他从

点出发，经过一段时间又回到了

点，画成

（位移-时间）图就是：

根据常识，因为要回到起点，中间必定有速度为0的点：

拳击比赛中，步伐复杂：

但不论怎样，只要最后回到起点，中间必定有速度为0的点：

这就是罗尔中值定理。

1.2 罗尔中值定理

设函数满足以下三个条件：

• 在闭区间 [a,b] 上连续
• 在开区间 (a,b) 上可导
• 
  

则存在

，使得

。

在闭区间 [a,b] 连续是必须的，否则有可能没有

在开区间 (a,b) 可导也是必须的：

1.3 拓展

定理中的条件“

在闭区间 [a,b] 连续、在 开区间(a,b) 可导”是否可以更改为“

在闭区间 [a,b] 连续、在 闭区间[a,b] 可导”？

不行，这两者并非同一个条件，举一个反例：

此函数在图像如下：

此函数就是在 [1,0] 连续，(1,0) 可导，在端点 x=0,1 处导数不存在（类似于

在0点处不可导，可自行证明）。

2 拉格朗日中值定理

来看下交通管理中的区间测速：

时间

采集到汽车的位移为

，时间

采集到汽车的位移为

：

可以据此算出平均速度

比如算出来平均速度为 70km/h ，平均速度是由瞬时速度叠加的结果，那么路程中的瞬时速度可能为：

• 匀速前进：那么整个路程的瞬时速度必然全为 70km/h
• 变速前进：整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于 70km/h 的情况

下面是变速前进的速度变换动画（蓝色为大于，闪烁为平行即等于，绿色为小于）：

如果限速 60km/h ，那么根据汽车的平均速度为 70km/h ，就可以判定路程中必然至少有一个点超速。

约瑟夫·拉格朗日伯爵，法国籍意大利裔数学家和天文学家，以他命名的拉格朗日中值定理就可以在数学层面解释刚才的现象。

2.1 拉格朗日中值定理

设函数满足以下两个条件：

• 在闭区间 [a,b] 上连续
• 在开区间 (a,b) 上可导

则存在

这个定理的几何意义就是，至少存在一点的切线与端点的连线平行；物理意义是，至少存在一点的速度与平均速度相等：

把它旋转一下，

得到的就是罗尔中值定理，可见罗尔是拉格朗日的特例：

3 柯西中值定理

设函数

满足以下条件：

• 在闭区间 [a,b] 上连续
• 在开区间 (a,b) 上可导
• 有：

则存在

，使等式

成立。

可以把

组合成参数方程：

这样柯西中值定理就有类似于拉格朗日中值定理一样的几何意义：

如果：

那么柯西中值定理就变为了拉格朗日中值定理，所以拉格朗日又是柯西的特例。

4 总结

三大微分中值定理的联系与区别：

微分中值定理是微分学中最重要的基本定理之一，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的重要工具，也是不等式与等式证明的重要方法。因此，关于微分中值定理的学习与研究具有非常重要的实际应用与理论意义。