中考数学专题训练与中点有关的基本模型

【题组训练】

题组 1

题组 2

题组 3

（1）如图1，在四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，AD 的中点，连接 FE 并延长，

分别与 BA，CD 的延长线交于点 M，N，则 ∠BME＝∠CNE，

求证：AB＝CD.（提示：取 BD 的中点 H，连接 FH，HE 作辅助线）

（2）如图 2，在 △ABC 中，点 O 是 BC 边的中点，D 是 AC 边上一点，E 是 AD 的中点，

直线 OE 交 BA 的延长线于点 G . 若 AB＝DC＝5，∠OEC＝60°，求 OE 的长度 .

【参考答案】

【方法指导】

方法指导 1 有关中点的常见考法

（1）直角三角形斜边上的中线

如图，在 Rt△ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，则 BD＝1/2 AB，AD＝CD＝DB .

反过来，在 △ABC 中，点 D 在 AB 边上，若 AD＝BD＝CD＝1/2 AB，

则有 ∠ACB＝90°.

解题通法：

直角＋中点 ⇒ 直角三角斜边上的中线 .

（2）等腰三角形 “三线合一”

如图，在 △ABC 中，若 AB＝AC，通常取底边 BC 的中点 D，则 AD⊥BC，且 AD 平分 ∠BAC.

解题通法：

事实上，在 △ABC 中：

① AB＝AC；② AD 平分 ∠BAC；③ BD＝CD；④ AD⊥BC.

对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即 “知二得二”.

（3）线段垂直平分线

如图，直线 l 是线段 BC 的垂直平分线，则可以在直线 l 上任意取一点 A，得到 AB＝AC，

即 △ABC 是等腰三角形.

解题通法：

遇到垂直平分线 ⇒ 线段相等 ⇒ 等腰三角形.

（4）倍长中线

在 △ABC 中，M 为 BC 的中点.

① 如图1，连接 AM 并延长至点 E，使得 AM＝ME，连接 CE，则 △ABM≌△ECM .

② 如图2，点 D 在 AB 边上，连接 DM 并延长至点 E，使得 ME＝DM，连接 CE，则 △DMB≌△EMC.

解题通法：

遇到三角形一边上的中点，常常倍长中线，利用 “8” 字形全等将题中条件集中，以达到解题的目的.

（5）构造三角形的中位线

在 △ABC 中，D 为 AB 边的中点.

① 如图1，取 AC 边上的中点 E，连接 DE，则 DE∥BC，且 DE＝1/2 BC.

② 如图2，延长 BC 至点 F，使得 CF＝BC，连接 CD，AF，则 DC∥AF，且 DC＝1/2 AF.

解题通法：

三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来，

通常需要再找一个中点来构造中位线，或倍长某段线段构造中位线 .

拓展：

如果已知中点的边不在一个三角形中，则需先添加辅助线构造中点，然后构造三角形的中位线解题.

如在四边形 ABCD 中，点 E，H 分别为 AB，CD 边的中点，

则先连接 AC，然后取 AC 边的中点 F，连接 EF，FH，

则 EF 为 △ABC 的中位线，FH 为 △ACD 的中位线 .

（6）中点四边形

如图，在四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是四边形的边 AB，BC，CD，AD 的中点 .

结论：

① 连接 EF，FG，GH，EH，则中点四边形 EFGH 是平行四边形 .

② 若对角线 AC 和 BD 相等，则中点四边形 EFGH 是菱形.

③ 若对角线 AC 与 BD 互相垂直，则中点四边形 EFGH 是矩形.

④ 若对角线 AC 与 BD 互相垂直且相等，则中点四边形 EFGH 是正方形.

方法指导 2 中考数学中涉及 “一半” 的相关内容

① 直角三角形斜边中线等于斜边的一半；

② 30° 所对的直角边等于斜边的一半；

③ 三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半；

④ 圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半.