怎样理解切空间？

切空间是在某一点所有的切向量组成的线性空间。切空间是微分流形在一点处所决定的向量空间，是欧氏空间中光滑曲线的切线、光滑曲面的切平面的推广。

为了理解切空间，首先要清楚什么是切向量。欧式空间中的切向量很直观，完全可以想象得出来，但对于更一般的流形而言，这样直观的切向量已经不复存在，所以必须要重新定义出与欧式空间中切向量相容的切向量。

欧式空间中的切向量联系着方向导数，而流形上函数仍然有方向导数，这就启发了我们去定义流形上的切向量。

把流形上的函数f(x)限制在光滑曲线x(t)上，那么函数成为f(x(t))，此时函数沿曲线在p点的方向导数为

在p点选取局部坐标系x=(x1,⋯,xn)，那么上式可以表示成

此时将微分算子Xp定义作在p点的切向量，这样就符合了切向量和方向导数的关系，也符合了切向量的含义，而且与欧式空间中切向量相符。

那么受此启发，可以将流形上在p点的切向量直接定义成具有线性性和莱布尼茨性质的映射v:

而在p点的所有切向量便构成了p点的切空间，这与欧式空间相同。进一步可知，p点处的切空间维数与流形的维数相同，而且有自然定义的基底:

直观一点来说，切空间就是流形在一点的线性化，是包含此点最简单的空间，借助这一“简单”，便可以过得更多关于流形本身的性质，对比一下欧式空间的话，这些是很好想像的。