向量的构造

之前一直认为向量是一个很割裂的模块，最近发现它的应用还是非常巧妙和广泛的。

其中比较有趣的是构造这一种想法，也就是一种“无中生有”的能力，下面举三个例子。

1.              

看到这道题的形式常规解法都是考虑使用柯西不等式，实际上柯西不等式也可以用向量进行证明，所以不如更直观地考虑向量的解法。

观察到最后求的最值是几个式子的平方和，联想到向量坐标表示形式下模长的平方。观察到这里存在参数a,b,c，并且前后两个式子中都是与不同的常数作运算，于是考虑单独设出a,b,c。

不妨设n=(a,b,c)，m=(2,2,1)，p=(1,-2,3)。于是易得：

             

考虑到求的是范围，联想到向量中一个重要不等式：

             

在这道题中，也就是：

             

又因为m,n的，m,p的数量积，m的模长是已知的，便得到：

             

2.

             

这道题的常规解法是直接两边平方，然后再求导解决，这样的方法过于简单粗暴，并且计算很不简洁。于是思考更简单的作法。

观察到这是两个二次根式相减，就联系到两个向量的模长相减，于是就可以使用向量中的三角不等式来解决。即：

       于是考虑把根号下的二次式转变为一个向量的模长平方，于是配方得到：

             

考虑向量的坐标形式，构造向量得到：

             

3.

       

看到这6个数的形式都相同，并且都与向量积的坐标表达有关。不妨构造出这几个向量。由于向量是可平移的，又需计算数量积，不妨把这几个向量的起点统一。经过对式子的观察，设：

             

题设就转化为了证明这六个数量积至少有一个是非负数。由于向量数量积的符号与向量的夹角相关。题设于是进一步转化为了这四个向量中至少有两个向量间夹角为直角或锐角。而这个命题通过反证法就可以简单证明：

     

总结一下，想法其实很普通，看到形似向量表达式（尤其是坐标表达式）的式子，就考虑构造向量，这一点是需要熟悉度的。再利用向量运算和一些向量不等式性质来解决问题。

老师上课一再强调：向量是一个工具。从这三道题目就体现出来了：这是因为，向量运算，尤其是这三道向量构造中常用的向量坐标形式运算，是比较简单的，而且包含的内容丰富，可以联系到根式，平方和等等难以解决的形式。也是这个原因，导致了有些题目解法很优美。

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