牛顿(Isaac Newton)在回到家乡躲避瘟疫的三年里做出了很多重要的贡献, 比如:发现万有引力定律,发明微积分。这些贡献是大众熟知的,在很多的科学文献以及课本中都能看到这些内容的介绍, 其实在那三年里牛顿在代数学上也做出了一个很杰出的成果,这个成果就是:广义二项式定理。 牛顿 广义二项式定理虽然没有万有引力定律以及微积分那样让大众熟知,但是在代数学中确有着非常重要的应用,这个定理可以帮助我们理解无穷级数。这个定理的内容如下图所示: 牛顿广义二项式定理 莱昂哈德·欧拉 这一定理是帕斯卡二项式定理的推广,更一般的情况是幂为任意实数的情况,虽然牛顿在1664年至1665年这一段时间给出了这个定理,但是却没有给出证明,所以严格地讲在牛顿的时代这一命题只能说是猜想,幂为有理数的情况的证明由莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)完成,他为了证明牛顿的命题首先构造了一个函数f性质如下图所示: 根据f的性质可知下图所示的结论: 函数f的性质推广 欧拉首先考虑的是幂为正有理数的情况,我们知道任何的正有理数q都可以表示成k/h的形式,其中k与h都是正整数,根据函数f的性质我们可以得到当函数自变量为k/h时函数的展开式,接着欧拉利用函数f性质的结论建立了f(q)与f(k)之间的关系,因为f(k)的展开是(1+x)的 k次幂的展开,而(1+x)的 k次幂等于f(q)的h次方,因此我们可以求得f(q)等于(1+x)的 k次幂的h次方根,因此证明了幂为正有理数情况下的二项式定理,具体步骤如下图所示: 正有理数次幂二项式定理证明 当二项式的幂为负有理数时,实际上我们只要研究当f(-n)与f(n)的关系就可以了,其中n为正有理数,具体的推导过程如下图所示: 这样欧拉就证明了当幂为有理数时的广义二项式定理! 牛顿提出了广义二项式命题,而欧拉证明了这一命题使之成为定理,两位数学家虽然不是生活在同一时代,但是都对二项式定理的研究做出了自己的贡献,可谓是一次跨时空的合作! |
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