 提要 数形结合是研究数学问题的有效途径和重要策略，它体现了数学的和谐美，统一美。数，式能反映图形的准确性，图形能增强数，式的直观性。我国著名数学家华罗庚曾概况：“数与形 ，本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。” 知识全解 一．数形结合思想的概念 数形结合思想是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。 将“数”字化为图“形”，或能从“图”形中获取有用的解题“数”字，是数形结合思想的关键所在。 二．数形结合思想的解题策略 利用数学结合思想解题的关键是明确“数”，“形”之间的紧密联系，“数”问题可利用“形”去解决，“形”的问题可利用“数”去解决。 注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。 三．学法指导 类型1 利用数轴将代数问题转化成几何图形问题 例1 已知a>0，b<0，且lbl>a，试比较a,-a,b,-b的大小 【解析】若直接比较上述4个数的大小有一定的难度；若用特殊值法，是可以比较它们的大小关系的；若把它们在数轴上表示出来，利用数轴的直观性，它们的大小关系将一目了然。 ∵a>0,b<0，∴在数轴上表示数a,b的点分布在原点的右边和左边 ∵lbl>a，∴表示数a的点到原点的距离小于数b的点到原点的距离 故a,-a,b,-b这4个数在数轴上的排列顺序如下图所示  观察数轴可知b< -a<a<-b 【点评】数a表示实数，可以是正数、零，也可以是负数。不能认为a一定是正敷，-a 一定是负数 类型2 利用几何模型将代数问题转化成几何图形问题  【点评】本题若直接计算则非常繁杂，通过构造图形，利用形的直观性一目了然即可求解 类型3 利用函数图像将代数问题转化为几何图形问题 例3 已知反比例函数，y= 2/x及一次函数y=-3/4x+7/2，求以这两个函数图形的交点和坐标原点为顶点的三角形的面积。 【解析】  可得到两个函数图像的交点为A（2/3，3），B（4，1/2） 如果直接求△ABO的三条边长再求面积，则运算非常烦琐。 如图所示  结合图像可以把复杂的运算转化为简单的几何问题： 直线 y=-3/4x+7/2与x轴的交点为C（14/3，0） ∴S△ABO=S△ACO-S△BCO=1/2 × 14/3 ×3 -1/2 ×14/3 ×1/2=1/2 × 14/3 ×(3-1/2)=35/6 【点评】本题利用函数图像，将△ABO的面积转化为△ACO的面积与△BCO的面积差，直观快捷。 经典例题 例1 利用数轴解题 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是  A. |a|<l<|b| B. l<-a<b C．1<|a|<b D. -b<a<-l 【解析】观察图象可知-l<a<0，b>l，故a、b异号，显然|a|和|b|都大于1，所以A错误，故选A． 【点评】从数轴上观察出a，b的符号及绝对值的大小是解答此类问题的关键 例2 构造函数图象解题  【解析】依题意，画出函数y=（x-a）（x-b）的图象，如图所示  函数图像为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b(a<b)。方程l- (x-a)(x-b)=0转化为（x-a）(x-b)=1，方程的两根是抛物线y=（x-a）(x-b)与直线y=l的两个交点。 由m<n可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n。由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m<a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则b<n，综上所述，可知m<a<b<n，故选A。 【点评】本题在已知中没有出现图象，通过作出函数图象将方程问题与抛物线有机结合，使看似难以解答的问题得以轻松解决。 例3 利用数形结合思想解几何问题 如图所示  点D在△ABC的边BC上, ∠C+∠BAD=∠DAC, tan ∠BAD=4/7，AD=√65,CD=13, 则线段AC的长为______ 【解析】在DC上取点E，使∠CAE=∠BAD，过点E作EF⊥AC于点F，连接AE。∴∠DAE=∠C。∴△ADE∽△CDA。∴AD/CD=DE/AD，即√65/13=DE/√65。∴DE=5，∴CE= CD-DE=8 。∵EF/AF=tan∠EAF=tan∠BAD=4/7,故可设EF=4x，AF=7x。  【点评】本题综合考查了相似三角形的性质和判定、锐角三角函数的知识，通过添加辅助线转化相等，方程思想的灵活运用是解题的关键。本题具有一定的难度。 |
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